MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni2 9051
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem acni2
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4454 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ≠ ∅))
2 elpw2g 4968 . . . . . . . 8 (𝑋AC 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
32anbi1d 743 . . . . . . 7 (𝑋AC 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)))
41, 3syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑋AC 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)))
54ralbidv 3116 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)))
65biimpar 503 . . . 4 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7 eqid 2752 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
87fmpt 6536 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
96, 8sylib 208 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
10 acni 9050 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑓𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
119, 10syldan 488 . 2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑓𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
12 nffvmpt1 6352 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
1312nfel2 2911 . . . . 5 𝑥(𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
14 nfv 1984 . . . . 5 𝑦(𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
15 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑥))
16 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
1715, 16eleq12d 2825 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ↔ (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
1813, 14, 17cbvral 3298 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
19 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅))
20 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝑥𝐴)
21 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝑋AC 𝐴)
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
2321, 22ssexd 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵 ∈ V)
247fvmpt2 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ V) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2520, 23, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2625eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
2726ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) → (𝐵𝑋 → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
2827adantrd 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
2928ralimdva 3092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋AC 𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
3029imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
31 ralbi 3198 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3332biimpa 502 . . . . . . . . . 10 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
34 ssel 3730 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑋 → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑋))
3534adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑋))
3635ral2imi 3077 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑋))
3719, 33, 36sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑋)
38 fveq2 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑦))
3938eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑋 ↔ (𝑓𝑦) ∈ 𝑋))
4039rspccva 3440 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑋)
4137, 40sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑋)
42 eqid 2752 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))
4341, 42fmptd 6540 . . . . . . 7 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋)
44 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → 𝑋AC 𝐴)
45 acnrcl 9047 . . . . . . . 8 (𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V)
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
47 fex2 7278 . . . . . . 7 (((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋𝐴 ∈ V ∧ 𝑋AC 𝐴) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) ∈ V)
4843, 46, 44, 47syl3anc 1473 . . . . . 6 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) ∈ V)
49 fvex 6354 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑥) ∈ V
5015, 42, 49fvmpt 6436 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) = (𝑓𝑥))
5150eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
5251ralbiia 3109 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
5333, 52sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)
5443, 53jca 555 . . . . . 6 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
55 feq1 6179 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → (𝑔:𝐴𝑋 ↔ (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋))
56 fveq1 6343 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → (𝑔𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥))
5756eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
5857ralbidv 3116 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
5955, 58anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → ((𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)))
6059spcegv 3426 . . . . . 6 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) ∈ V → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)))
6148, 54, 60sylc 65 . . . . 5 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵))
6261ex 449 . . . 4 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)))
6318, 62syl5bi 232 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)))
6463exlimdv 2002 . 2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑓𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)))
6511, 64mpd 15 1 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wex 1845  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  Vcvv 3332  cdif 3704  wss 3707  c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  cmpt 4873  wf 6037  cfv 6041  AC wacn 8946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-map 8017  df-acn 8950
This theorem is referenced by:  acni3  9052  acndom  9056  acnnum  9057  acndom2  9059  dfacacn  9147
  Copyright terms: Public domain W3C validator