Theorem acopyeu 26623

Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. Akin to a uniqueness theorem, this states that if two points 𝑋 and 𝑌 both fulfill the conditions, then they are on the same half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
acopy.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
acopyeu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
acopyeu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
acopyeu.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
acopyeu.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
acopyeu.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
acopyeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
acopyeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)

Assertion

Ref	Expression
acopyeu	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

Proof of Theorem acopyeu

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑡 𝑥 𝑦 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		acopyeu.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		acopyeu.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5	4	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
6	5	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		simplr 767	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		acopyeu.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16	15	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		dfcgra2.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
18		acopy.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
19		dfcgra2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		dfcgra2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		dfcgra2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	25	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	26	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
30		dfcgra2.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
31	30	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	31	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
33		acopy.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
34	33	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
35	34	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
36		dfcgra2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		acopy.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
39	38	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
40		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷)
41	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 18, 40	hlln 26396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
42	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 40	hlne1 26394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ≠ 𝐸)
43	1, 2, 18, 12, 37, 15, 31, 28, 39, 41, 42	ncolncol 26435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
44	43	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
45		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
46	1, 17, 2, 12, 15, 28, 23, 20, 45	tgcgrcomlr 26269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑 − 𝐸) = (𝐴 − 𝐵))
47	46	eqcomd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
48	47	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
49		simpl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑢 = 𝑎)
50	49	eleq1d 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
51		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑣 = 𝑏)
52	51	eleq1d 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
53	50, 52	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)))))
54		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑤 = 𝑡)
55		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑢 = 𝑎)
56		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑣 = 𝑏)
57	55, 56	oveq12d 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑢𝐼𝑣) = (𝑎𝐼𝑏))
58	54, 57	eleq12d 2910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
59	58	cbvrexdva 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
60	53, 59	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣)) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
61	60	cbvopabv 5141	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
62		simpllr 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		simprll 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩)
64		simprrl 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩)
65	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tgelrnln 26419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
66	65	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
67	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tglinerflx2 26423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
68	67	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
69	37	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
70		acopyeu.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
71	1, 18, 2, 11, 22, 25, 19, 33	ncolrot2 26352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
72	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 4, 70, 18, 71	cgrancol 26618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
73	1, 18, 2, 11, 36, 14, 4, 72	ncolcom 26350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
74	73	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
75		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)
76	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 18, 75	hlln 26396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐿𝐸))
77	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 75	hlne1 26394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ≠ 𝐸)
78	1, 2, 18, 13, 6, 16, 69, 62, 74, 76, 77	ncolncol 26435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
79	1, 18, 2, 13, 16, 69, 62, 78	ncolcom 26350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
80		pm2.45 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
82	1, 2, 18, 11, 36, 14, 30, 38	ncolne1 26414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
83	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tgelrnln 26419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
84	83	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
85	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tglinerflx2 26423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
86	85	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
87	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42, 42, 84, 41, 86	tglinethru 26425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
88	87	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
89	81, 88	neleqtrd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
90	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 62, 6, 89, 75	hphl 26560	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑋)
91	87	fveq2d 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
92	91	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
93		acopyeu.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
94	93	ad5antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
95	92, 94	breqdi 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
96	1, 2, 18, 13, 66, 62, 61, 6, 90, 32, 95	hpgtr 26557	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
97		acopyeu.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
98	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 8, 97, 18, 71	cgrancol 26618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
99	1, 18, 2, 11, 36, 14, 8, 98	ncolcom 26350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
100	99	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
101		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)
102	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 18, 101	hlln 26396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ (𝑌𝐿𝐸))
103	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 101	hlne1 26394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ≠ 𝐸)
104	1, 2, 18, 13, 10, 16, 69, 7, 100, 102, 103	ncolncol 26435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
105	1, 18, 2, 13, 16, 69, 7, 104	ncolcom 26350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
106		pm2.45 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
108	107, 88	neleqtrd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
109	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 7, 10, 108, 101	hphl 26560	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑌)
110		acopyeu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
111	110	ad5antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
112	92, 111	breqdi 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
113	1, 2, 18, 13, 66, 7, 61, 10, 109, 32, 112	hpgtr 26557	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
114	1, 17, 2, 18, 3, 13, 21, 24, 27, 29, 16, 32, 35, 44, 48, 61, 62, 7, 63, 64, 96, 113	trgcopyeulem 26594	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 = 𝑦)
115	114, 75	eqbrtrrd 5093	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑋)
116	1, 2, 3, 7, 6, 16, 13, 115	hlcomd 26393	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑦)
117	1, 2, 3, 6, 7, 10, 13, 16, 116, 101	hltr 26399	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
118	70	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
119	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 5, 118, 28, 40	cgrahl1 26605	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩)
120	1, 2, 18, 11, 19, 22, 25, 33	ncolne1 26414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
121	120	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
122	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 5, 17, 121, 47	iscgra1 26599	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)))
123	119, 122	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋))
124	97	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
125	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 9, 124, 28, 40	cgrahl1 26605	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩)
126	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 9, 17, 121, 47	iscgra1 26599	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
127	125, 126	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))
128		reeanv 3370	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
129	123, 127, 128	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
130	117, 129	r19.29vva 3339	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
131	120	necomd 3074	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
132	1, 2, 3, 14, 22, 19, 11, 36, 17, 82, 131	hlcgrex 26405	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
133	130, 132	r19.29a 3292	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∃wrex 3142   ∖ cdif 3936   class class class wbr 5069  {copab 5131  ran crn 5559  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ⟨“cs3 14207  Basecbs 16486  distcds 16577  TarskiGcstrkg 26219  Itvcitv 26225  LineGclng 26226  cgrGccgrg 26299  hlGchlg 26389  hpGchpg 26546  cgrAccgra 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13926  df-s1 13953  df-s2 14213  df-s3 14214  df-trkgc 26237  df-trkgb 26238  df-trkgcb 26239  df-trkgld 26241  df-trkg 26242  df-cgrg 26300  df-leg 26372  df-hlg 26390  df-mir 26442  df-rag 26483  df-perpg 26485  df-hpg 26547  df-mid 26563  df-lmi 26564  df-cgra 26597

This theorem is referenced by:  tgasa1  26647