MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrsel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsdrsel 17364
Description: An algebraic closure system contains all directed unions of closed sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsdrsel ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → 𝑌𝐶)

Proof of Theorem acsdrsel
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 4972 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝐶𝑌𝐶))
21biimpar 503 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝐶)
3 isacs3lem 17363 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
43simprd 482 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
54adantr 472 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌𝐶) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
6 fveq2 6348 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑌 → (toInc‘𝑠) = (toInc‘𝑌))
76eleq1d 2820 . . . . 5 (𝑠 = 𝑌 → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
8 unieq 4592 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑌 𝑠 = 𝑌)
98eleq1d 2820 . . . . 5 (𝑠 = 𝑌 → ( 𝑠𝐶 𝑌𝐶))
107, 9imbi12d 333 . . . 4 (𝑠 = 𝑌 → (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → 𝑌𝐶)))
1110rspcva 3443 . . 3 ((𝑌 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → 𝑌𝐶))
122, 5, 11syl2anc 696 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌𝐶) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → 𝑌𝐶))
13123impia 1110 1 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → 𝑌𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wral 3046  wss 3711  𝒫 cpw 4298   cuni 4584  cfv 6045  Moorecmre 16440  ACScacs 16443  Dirsetcdrs 17124  toInccipo 17348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ocomp 16161  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-preset 17125  df-drs 17126  df-poset 17143  df-ipo 17349
This theorem is referenced by:  isnacs3  37771
  Copyright terms: Public domain W3C validator