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Theorem acsfiindd 17098
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsfiindd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsfiindd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsfiindd.4 (𝜑𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
acsfiindd (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
21acsmred 16238 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 acsfiindd.2 . . . . 5 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 acsfiindd.3 . . . . 5 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 simplr 791 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑆𝐼)
7 inss1 3811 . . . . . . 7 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑆
8 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
97, 8sseldi 3581 . . . . . 6 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑆)
109elpwid 4141 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝑆)
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 16222 . . . 4 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝐼)
1211ralrimiva 2960 . . 3 ((𝜑𝑆𝐼) → ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
13 dfss3 3573 . . 3 ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
1412, 13sylibr 224 . 2 ((𝜑𝑆𝐼) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼)
152adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
16 acsfiindd.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝑋)
18 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin))
19 elfpw 8212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ↔ (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
2018, 19sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
2120simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
2221difss2d 3718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡𝑆)
23 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑥𝑆)
2423snssd 4309 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → {𝑥} ⊆ 𝑆)
2522, 24unssd 3767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
2620simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
27 snfi 7982 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ∈ Fin
28 unfi 8171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2926, 27, 28sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
30 elfpw 8212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ↔ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin))
3125, 29, 30sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
322ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
33 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑠𝐼)
34 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑆)
35 snidg 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆𝑥 ∈ {𝑥})
36 elun2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥} → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥}))
3937, 38eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑠)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑥𝑠)
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 16218 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
422ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4321adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
44 neldifsnd 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑥}))
4543, 44ssneldd 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥𝑡)
46 difsnb 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑡 ↔ (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
4745, 46sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
48 ssun1 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {𝑥})
4948, 38syl5sseqr 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡𝑠)
5049ssdifd 3724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5147, 50eqsstr3d 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5225adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
5316ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑆𝑋)
5452, 53sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5538, 54eqsstrd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠𝑋)
5655ssdifssd 3726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5742, 4, 51, 56mrcssd 16205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑁𝑡) ⊆ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
5857sseld 3582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
6041, 59mtod 189 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6160ex 450 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6231, 61rspcimdv 3296 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6313, 62syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6463impancom 456 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6564ralrimiv 2959 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6616ssdifssd 3726 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
671, 4, 66acsficl2d 17097 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6867notbid 308 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
69 ralnex 2986 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
7068, 69syl6bbr 278 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7170ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7265, 71mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7372an32s 845 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7473ralrimiva 2960 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 16215 . 2 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝐼)
7614, 75impbida 876 1 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  cfv 5847  Fincfn 7899  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  mrIndcmri 16165  ACScacs 16166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ocomp 15884  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-mri 16169  df-acs 16170  df-preset 16849  df-drs 16850  df-poset 16867  df-ipo 17073
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