MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1c 16263
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1c ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn1c
StepHypRef Expression
1 riinrab 4569 . 2 (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎}
2 mreacs 16259 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
32adantr 481 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
4 acsfn1 16262 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
54ex 450 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
65ralimdv 2959 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
76imp 445 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
8 mreriincl 16198 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
93, 7, 8syl2anc 692 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
101, 9syl5eqelr 2703 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wral 2908  {crab 2912  cin 3559  𝒫 cpw 4136   ciin 4493  cfv 5857  Moorecmre 16182  ACScacs 16185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-om 7028  df-1o 7520  df-en 7916  df-fin 7919  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189
This theorem is referenced by:  nsgacs  17570  lssacs  18907
  Copyright terms: Public domain W3C validator