MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsinfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsinfd 17174
Description: In an algebraic closure system, if 𝑆 and 𝑇 have the same closure and 𝑆 is infinite independent, then 𝑇 is infinite. This follows from applying unirnffid 8255 to the map given in acsmap2d 17173. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmap2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmap2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsmap2d.4 (𝜑𝑆𝐼)
acsmap2d.5 (𝜑𝑇𝑋)
acsmap2d.6 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
acsinfd.7 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
acsinfd (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)

Proof of Theorem acsinfd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2 acsmap2d.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 acsmap2d.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 acsmap2d.4 . . 3 (𝜑𝑆𝐼)
5 acsmap2d.5 . . 3 (𝜑𝑇𝑋)
6 acsmap2d.6 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
71, 2, 3, 4, 5, 6acsmap2d 17173 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓))
8 simplrr 801 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 = ran 𝑓)
9 simplrl 800 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
10 inss2 3832 . . . . . 6 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin
11 fss 6054 . . . . . 6 ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
129, 10, 11sylancl 694 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
13 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ Fin)
1412, 13unirnffid 8255 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ran 𝑓 ∈ Fin)
158, 14eqeltrd 2700 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
16 acsinfd.7 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
1716ad2antrr 762 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
1815, 17pm2.65da 600 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
197, 18exlimddv 1862 1 (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  cin 3571  wss 3572  𝒫 cpw 4156   cuni 4434  ran crn 5113  wf 5882  cfv 5886  Fincfn 7952  mrClscmrc 16237  mrIndcmri 16238  ACScacs 16239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-reg 8494  ax-inf2 8535  ax-ac2 9282  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-r1 8624  df-rank 8625  df-card 8762  df-ac 8936  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ocomp 15957  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-mri 16242  df-acs 16243  df-preset 16922  df-drs 16923  df-poset 16940  df-ipo 17146
This theorem is referenced by:  acsdomd  17175  acsinfdimd  17176
  Copyright terms: Public domain W3C validator