MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsmapd 17099
Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 17097 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3 (𝜑𝑆𝑋)
acsmapd.4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
Assertion
Ref Expression
acsmapd (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
2 fvex 6158 . . . . 5 (𝑁𝑆) ∈ V
32ssex 4762 . . . 4 (𝑇 ⊆ (𝑁𝑆) → 𝑇 ∈ V)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
51sseld 3582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁𝑆)))
6 acsmapd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7 acsmapd.2 . . . . . 6 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8 acsmapd.3 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
96, 7, 8acsficl2d 17097 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
105, 9sylibd 229 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
1110ralrimiv 2959 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦))
12 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑓𝑥)))
1312eleq2d 2684 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
1413ac6sg 9254 . . 3 (𝑇 ∈ V → (∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))))
154, 11, 14sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
16 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
18 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19 nfra1 2936 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))
2018, 19nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
2117, 20nfan 1825 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
226ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2322acsmred 16238 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
25 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → 𝑓 Fn 𝑇)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
27 fnfvelrn 6312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑇𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2826, 27sylancom 700 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2928snssd 4309 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
3029unissd 4428 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
31 frn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3231unissd 4428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
33 unifpw 8213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
3432, 33syl6sseq 3630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓𝑆)
3524, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑆)
368ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑆𝑋)
3735, 36sstrd 3593 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑋)
3823, 7, 30, 37mrcssd 16205 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑁 {(𝑓𝑥)}) ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
39 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
4039r19.21bi 2927 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
41 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
4241unisn 4417 . . . . . . . . . . 11 {(𝑓𝑥)} = (𝑓𝑥)
4342fveq2i 6151 . . . . . . . . . 10 (𝑁 {(𝑓𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓𝑥))
4440, 43syl6eleqr 2709 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 {(𝑓𝑥)}))
4538, 44sseldd 3584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓))
4645ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4721, 46alrimi 2080 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
48 dfss2 3572 . . . . . 6 (𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4947, 48sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
5016, 49jca 554 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
5150ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5251eximdv 1843 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5315, 52mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  Fincfn 7899  mrClscmrc 16164  ACScacs 16166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-r1 8571  df-rank 8572  df-card 8709  df-ac 8883  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ocomp 15884  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-drs 16850  df-poset 16867  df-ipo 17073
This theorem is referenced by:  acsmap2d  17100
  Copyright terms: Public domain W3C validator