Theorem acsmapd 17787

Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ∪ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 17785 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmapd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
acsmapd.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
acsmapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
2		fvex 6682	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑆) ∈ V
3	2	ssex 5224	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆) → 𝑇 ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
5	1	sseld 3965	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆)))
6		acsmapd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7		acsmapd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8		acsmapd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	6, 7, 8	acsficl2d 17785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
10	5, 9	sylibd 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
11	10	ralrimiv 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦))
12		fveq2 6669	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑁‘𝑦) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
13	12	eleq2d 2898	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
14	13	ac6sg 9909	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))))
15	4, 11, 14	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
16		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17		nfv 1911	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		nfv 1911	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19		nfra1 3219	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
20	18, 19	nfan 1896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
21	17, 20	nfan 1896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
22	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
23	22	acsmred 16926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
25	24	ffnd 6514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26		fnfvelrn 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
27	25, 26	sylancom 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
28	27	snssd 4741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
29	28	unissd 4847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ∪ ran 𝑓)
30		frn 6519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
31	30	unissd 4847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32		unifpw 8826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
33	31, 32	sseqtrdi 4016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
35	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	sstrd 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑋)
37	23, 7, 29, 36	mrcssd 16894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
38		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
39	38	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
40		fvex 6682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
41	40	unisn 4857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ {(𝑓‘𝑥)} = (𝑓‘𝑥)
42	41	fveq2i 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
43	39, 42	eleqtrrdi 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}))
44	37, 43	sseldd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
45	44	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
46	21, 45	alrimi 2209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
47		dfss2 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
48	46, 47	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
49	16, 48	jca 514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
50	49	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
51	50	eximdv 1914	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
52	15, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538  {csn 4566  ∪ cuni 4837  ran crn 5555   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  Fincfn 8508  mrClscmrc 16853  ACScacs 16855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-reg 9055  ax-inf2 9103  ax-ac2 9884  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-r1 9192  df-rank 9193  df-card 9367  df-ac 9541  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ocomp 16585  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-proset 17537  df-drs 17538  df-poset 17555  df-ipo 17761

This theorem is referenced by:  acsmap2d  17788