Theorem acufl 21922

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	⊢ (CHOICE → UFL = V)

Proof of Theorem acufl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3343	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	pwex 4997	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
3	2	pwex 4997	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
4		dfac10 9151	. . . . . 6 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	syl5eleqr 2846	. . . 4 ⊢ (CHOICE → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
7		numufl 21920	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ UFL)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ UFL)
9	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ V)
10	8, 9	2thd 255	. 2 ⊢ (CHOICE → (𝑥 ∈ UFL ↔ 𝑥 ∈ V))
11	10	eqrdv 2758	1 ⊢ (CHOICE → UFL = V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  𝒫 cpw 4302  dom cdm 5266  cardccrd 8951  CHOICEwac 9128  UFLcufl 21905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-rpss 7102  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-fin 8125  df-fi 8482  df-card 8955  df-ac 9129  df-cda 9182  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-fil 21851  df-ufil 21906  df-ufl 21907

This theorem is referenced by:  ptcmp  22063  dfac21  38138