MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  add32d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem add32d 10110
Description: Commutative/associative law that swaps the last two terms in a triple sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
addd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
add32d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem add32d
StepHypRef Expression
1 addd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 add32 10101 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  cc 9786   + caddc 9791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931
This theorem is referenced by:  nppcan  10150  muladd  10309  fladdz  12439  zesq  12800  relexpaddnn  13581  abstri  13860  iseraltlem3  14204  sadadd2lem  14961  pythagtriplem1  15301  pythagtriplem12  15311  vdwlem2  15466  vdwlem6  15470  vdwlem8  15472  prmgaplem8  15542  tchcphlem1  22759  uniioombllem5  23074  heron  24278  dcubic1  24285  lgamcvg2  24494  mulog2sumlem1  24936  chpdifbndlem1  24955  selberg34r  24973  pntlemr  25004  brbtwn2  25499  axpasch  25535  clwwisshclwwlem1  26095  subfacval2  30225  fourierdlem19  38819  fourierdlem26  38826  carageniuncllem2  39212  opeoALTV  39934  cnapbmcpd  40165  crctcsh1wlkn0lem4  41014  clwwisshclwwslemlem  41231
  Copyright terms: Public domain W3C validator