MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  add42i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem add42i 10109
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
add.1 𝐴 ∈ ℂ
add.2 𝐵 ∈ ℂ
add.3 𝐶 ∈ ℂ
add4.4 𝐷 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
add42i ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐷 + 𝐵))

Proof of Theorem add42i
StepHypRef Expression
1 add.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 add.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 add.3 . 2 𝐶 ∈ ℂ
4 add4.4 . 2 𝐷 ∈ ℂ
5 add42 10105 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐷 + 𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5mp4an 704 1 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐷 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6524  cc 9787   + caddc 9792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932
This theorem is referenced by:  ip2dii  26886  normlem8  27161  normpari  27198  lnopunilem1  28056
  Copyright terms: Public domain W3C validator