Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspi Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspi ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))

StepHypRef Expression
1 pinn 9912 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 9912 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 9912 . . . 4 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nnaass 7873 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1164 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
6 addclpi 9926 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7 addpiord 9918 . . . . . 6 (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶))
86, 7sylan 489 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶))
9 addpiord 9918 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
109oveq1d 6829 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
1110adantr 472 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
128, 11eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
13123impa 1101 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
14 addclpi 9926 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15 addpiord 9918 . . . . . 6 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
1614, 15sylan2 492 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
17 addpiord 9918 . . . . . . 7 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
1817oveq2d 6830 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
1918adantl 473 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
2016, 19eqtrd 2794 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
21203impb 1108 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
225, 13, 213eqtr4d 2804 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
23 dmaddpi 9924 . . 3 dom +N = (N × N)
24 0npi 9916 . . 3 ¬ ∅ ∈ N
2523, 24ndmovass 6988 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
2622, 25pm2.61i 176 1 ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6814  ωcom 7231   +𝑜 coa 7727  Ncnpi 9878   +N cpli 9879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-ni 9906  df-pli 9907 This theorem is referenced by:  addassnq  9992
 Copyright terms: Public domain W3C validator