MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclpi 9659
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 9651 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
2 pinn 9645 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 9645 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnacl 7637 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
53, 4sylan2 491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 9644 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7 nnaordi 7644 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
8 ne0i 3902 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
97, 8syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
109expcom 451 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)))
1110imp32 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
126, 11sylan2b 492 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
13 elni 9643 . . . 4 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
145, 12, 13sylanbrc 697 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
152, 14sylan 488 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
161, 15eqeltrd 2704 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992  wne 2796  c0 3896  (class class class)co 6605  ωcom 7013   +𝑜 coa 7503  Ncnpi 9611   +N cpli 9612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-oadd 7510  df-ni 9639  df-pli 9640
This theorem is referenced by:  addasspi  9662  distrpi  9665  addcanpi  9666  ltapi  9670  1lt2pi  9672  indpi  9674  addpqf  9711  adderpqlem  9721  addassnq  9725  distrnq  9728  1lt2nq  9740  archnq  9747  prlem934  9800
  Copyright terms: Public domain W3C validator