MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclpr 9599
Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem addclpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 9564 . 2 +P = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2 addclnq 9526 . 2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3 ltanq 9552 . 2 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
4 addcomnq 9532 . 2 (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
5 addclprlem2 9598 . 2 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ) → 𝑥 ∈ (𝐴 +P 𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5genpcl 9589 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938  (class class class)co 6431   +Q cplq 9436  Pcnp 9440   +P cpp 9442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-inf2 8301
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-om 6839  df-1st 6939  df-2nd 6940  df-wrecs 7174  df-recs 7235  df-rdg 7273  df-1o 7327  df-oadd 7331  df-omul 7332  df-er 7509  df-ni 9453  df-pli 9454  df-mi 9455  df-lti 9456  df-plpq 9489  df-mpq 9490  df-ltpq 9491  df-enq 9492  df-nq 9493  df-erq 9494  df-plq 9495  df-mq 9496  df-1nq 9497  df-rq 9498  df-ltnq 9499  df-np 9562  df-plp 9564
This theorem is referenced by:  addasspr  9603  distrlem1pr  9606  distrlem4pr  9607  ltaddpr  9615  ltexprlem7  9623  ltaprlem  9625  ltapr  9626  addcanpr  9627  enrer  9645  addcmpblnr  9649  mulcmpblnr  9651  ltsrpr  9657  1sr  9661  m1r  9662  addclsr  9663  mulclsr  9664  addasssr  9668  mulasssr  9670  distrsr  9671  m1p1sr  9672  m1m1sr  9673  ltsosr  9674  0lt1sr  9675  0idsr  9677  1idsr  9678  00sr  9679  ltasr  9680  recexsrlem  9683  mulgt0sr  9685  mappsrpr  9688
  Copyright terms: Public domain W3C validator