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Theorem addcos 14836
Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addcos ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem addcos
StepHypRef Expression
1 coscl 14789 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2 coscl 14789 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
3 addcom 10173 . . 3 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
41, 2, 3syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
5 halfaddsub 11216 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
65simprd 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
76fveq2d 6157 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (cos‘𝐵))
85simpld 475 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
98fveq2d 6157 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (cos‘𝐴))
107, 9oveq12d 6628 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
11 halfaddsubcl 11215 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ))
12 coscl 14789 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
13 coscl 14789 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14 mulcl 9971 . . . . . 6 (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1512, 13, 14syl2an 494 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
17 sincl 14788 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
18 sincl 14788 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19 mulcl 9971 . . . . . 6 (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
2017, 18, 19syl2an 494 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
2111, 20syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
2216, 21, 16ppncand 10383 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
23 cossub 14831 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
24 cosadd 14827 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
2523, 24oveq12d 6628 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
2611, 25syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
27162timesd 11226 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
2822, 26, 273eqtr4d 2665 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
294, 10, 283eqtr2d 2661 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217   / cdiv 10635  2c2 11021  sincsin 14726  cosccos 14727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-ico 12130  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733
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