Theorem addeq0 28686

Description: Two complex which add up to zero are each other's negatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
addeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem addeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10020	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	eqeq1i 2519	. . 3 ⊢ (-𝐵 = 𝐴 ↔ (0 − 𝐵) = 𝐴)
3		eqcom 2521	. . 3 ⊢ (-𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = -𝐵)
4	2, 3	bitr3i 264	. 2 ⊢ ((0 − 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 = -𝐵)
5		0cnd 9788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
6		simpr 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simpl 471	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	subadd2d 10162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
9	4, 8	syl5rbbr 273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  (class class class)co 6426  ℂcc 9689  0cc0 9691   + caddc 9694   − cmin 10017  -cneg 10018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-ltxr 9834  df-sub 10019  df-neg 10020

This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  29724  ballotlemfrceqOLD  29762