MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge01d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addge01d 10696
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
addge01d (𝜑 → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 addge01 10619 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2071   class class class wbr 4728  (class class class)co 6733  cr 10016  0cc0 10017   + caddc 10020  cle 10156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-ov 6736  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161
This theorem is referenced by:  xralrple  12118  2tnp1ge0ge0  12713  sermono  12916  bernneq  13073  sqrlem7  14077  absrele  14136  climserle  14481  iseraltlem3  14502  fsumless  14616  sinbnd  14998  sadcaddlem  15270  mndodconglem  18049  isabvd  18911  ovolicc2lem4  23377  ioombl1lem4  23418  ioorcl2  23429  mbfi1fseqlem6  23575  coemulhi  24098  cxpaddle  24581  jensenlem2  24802  padicabv  25407  axpaschlem  25908  chscllem2  28695  hstle1  29283  esumpcvgval  30338  itg2addnclem  33661  itg2addnc  33664  areacirclem5  33704  pell1qrge1  37821  ltrmxnn0  37903  xralrple4  39972  xralrple3  39973  mccllem  40217  wallispilem4  40673  fourierdlem42  40754  fourierdlem65  40776  etransclem35  40874  smfmullem1  41389  smfmullem2  41390  smfmullem3  41391
  Copyright terms: Public domain W3C validator