MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addge0d 10563
Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
addge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 addge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4 addge0d.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5 addge0 10477 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1324 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
This theorem is referenced by:  fldiv  12615  modaddmodlo  12690  cjmulge0  13836  absrele  13998  abstri  14020  nn0oddm1d2  15044  prdsxmetlem  22113  nmotri  22483  tchcphlem1  22974  trirn  23123  minveclem4  23143  ibladdlem  23526  itgaddlem1  23529  itgaddlem2  23530  iblabs  23535  cxpaddle  24427  asinlem3a  24531  fsumharmonic  24672  lgamgulmlem3  24691  mulog2sumlem2  25158  selbergb  25172  selberg2b  25175  pntrlog2bndlem2  25201  pntrlog2bnd  25207  abvcxp  25238  smcnlem  27440  minvecolem4  27624  fsumrp0cl  29522  sqsscirc1  29778  omssubaddlem  30184  dnibndlem9  32171  itg2addnc  33135  ibladdnclem  33137  itgaddnclem1  33139  itgaddnclem2  33140  iblabsnc  33145  iblmulc2nc  33146  ftc1anclem4  33159  ftc1anclem7  33162  ftc1anc  33164  areacirc  33176  rmxypos  37033  wallispi2lem1  39625  fourierdlem15  39676  fourierdlem30  39691  fourierdlem47  39707  sge0xaddlem2  39988  hoidmvlelem2  40147  hoidmvlelem4  40149  ovolval5lem1  40203  flsqrt  40837  nn0eo  41640
  Copyright terms: Public domain W3C validator