MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addge0d 10449
Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
addge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 addge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4 addge0d.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5 addge0 10363 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1318 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  cr 9788  0cc0 9789   + caddc 9792  cle 9928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933
This theorem is referenced by:  fldiv  12473  modaddmodlo  12548  cjmulge0  13677  absrele  13839  abstri  13861  nn0oddm1d2  14882  prdsxmetlem  21921  nmotri  22282  tchcphlem1  22760  trirn  22905  minveclem4  22925  ibladdlem  23306  itgaddlem1  23309  itgaddlem2  23310  iblabs  23315  cxpaddle  24207  asinlem3a  24311  fsumharmonic  24452  lgamgulmlem3  24471  mulog2sumlem2  24938  selbergb  24952  selberg2b  24955  pntrlog2bndlem2  24981  pntrlog2bnd  24987  abvcxp  25018  smcnlem  26734  minvecolem4  26923  fsumrp0cl  28829  sqsscirc1  29085  omssubaddlem  29491  dnibndlem9  31449  itg2addnc  32434  ibladdnclem  32436  itgaddnclem1  32438  itgaddnclem2  32439  iblabsnc  32444  iblmulc2nc  32445  ftc1anclem4  32458  ftc1anclem7  32461  ftc1anc  32463  areacirc  32475  rmxypos  36332  wallispi2lem1  38765  fourierdlem15  38816  fourierdlem30  38831  fourierdlem47  38847  sge0xaddlem2  39128  hoidmvlelem2  39287  hoidmvlelem4  39289  ovolval5lem1  39343  flsqrt  39848  nn0eo  42115
  Copyright terms: Public domain W3C validator