Theorem addid1 10819

Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
addid1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10640	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 10607	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3		ax-1ne0 10605	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4		oveq2 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
5	4	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
6	5	biimpcd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7		oveq2 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8		ax-icn 10595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
9	8, 8	mulcli 10647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
10	9, 9	mulcli 10647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11		ax-1cn 10594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		0cn 10632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	adddii 10652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
14	10	mulid1i 10644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15		mul01 10818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17		ax-i2m1 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18	16, 17	eqtr4i 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
19	14, 18	oveq12i 7167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
20	13, 19	eqtri 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
21	20, 16	eqeq12i 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
22	10, 9, 11	addassi 10650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
23	9	mulid1i 10644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · 1) = (i · i)
24	23	oveq2i 7166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
25	9, 9, 11	adddii 10652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
26	17	oveq2i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27		mul01 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
28	9, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · 0) = 0
29	26, 28	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
30	25, 29	eqtr3i 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
31	24, 30	eqtr3i 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
32	31	oveq1i 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
33	22, 32	eqtr3i 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34		00id 10814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = 0
35	34	eqcomi 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0 + 0)
36	33, 35	eqeq12i 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37		0re 10642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		readdcan 10813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
39	1, 37, 37, 38	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
40	21, 36, 39	3bitri 299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
41	7, 40	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
42	6, 41	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
43	42	necon3d 3037	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
44	3, 43	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45		ax-rrecex 10608	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
46	44, 45	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 10668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
52	51	recnd 10668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	adddid 10664	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
55	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
56	55, 52, 53	addassd 10662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
58	57	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
59	56, 58	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
60	34, 59, 57	3eqtr4a 2882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
61	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
62	51, 61	readdcld 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64		readdcan 10813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
65	62, 51, 63, 64	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
66	60, 65	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
67	66	oveq2d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
68	54, 67	eqtr3d 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69		mul31 10806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
70	47, 49, 52, 69	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71		simplrr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
72	71	oveq1d 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
73	47	mulid2d 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
74	70, 72, 73	3eqtrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75		mul01 10818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
76	50, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
77	74, 76	oveq12d 7173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
78	68, 77, 74	3eqtr3d 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
79	78	exp42 438	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
80	79	rexlimdv 3283	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
81	46, 80	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
82	81	rexlimiva 3281	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
83	1, 2, 82	mp2b 10	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679

This theorem is referenced by:  cnegex  10820  addid2  10822  addcan2  10824  addid1i  10826  addid1d  10839  subid  10904  subid1  10905  addid0  11058  swrdccat3blem  14100  shftval3  14434  reim0  14476  isercolllem3  15022  fsumcvg  15068  summolem2a  15071  risefac1  15386  cnaddid  18989  ovolicc1  24116  addsqnreup  26018  brbtwn2  26690  axsegconlem1  26702  ax5seglem4  26717  axeuclid  26748  axcontlem2  26750  axcontlem4  26752  stoweidlem26  42310  2zrngamnd  44211  aacllem  44901