MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid2d 10088
Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addid2d (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addid2d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addid2 10070 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6526  cc 9790  0cc0 9792   + caddc 9795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935
This theorem is referenced by:  negeu  10122  subge0  10392  sublt0d  10504  un0addcl  11175  lincmb01cmp  12144  ico01fl0  12439  discr  12820  ccatlid  13170  swrdswrd0  13262  cats1un  13275  swrdccatin2  13286  cshwidx0mod  13350  cshw1  13367  relexpaddg  13589  rennim  13775  max0add  13846  fsumsplit  14266  sumsplit  14289  isumsplit  14359  arisum2  14380  binomfallfaclem2  14558  efaddlem  14610  eftlub  14626  ef4p  14630  rpnnen2lem11  14740  moddvds  14777  divalglem9  14910  sadadd2lem2  14958  sadcaddlem  14965  pcmpt  15382  4sqlem11  15445  vdwlem6  15476  gsumccat  17149  mulgnn0dir  17342  sylow1lem1  17784  efgsval2  17917  efgsp1  17921  zaddablx  18046  pgpfaclem1  18251  mplcoe5  19237  regsumfsum  19581  regsumsupp  19734  nrmmetd  22136  blcvx  22356  xrsxmet  22367  reparphti  22552  nulmbl  23054  itg2splitlem  23265  itg2split  23266  itg2monolem1  23267  itgsplitioo  23354  ditgsplit  23375  dvcnp2  23433  dvcmul  23457  dvcmulf  23458  dvmptcmul  23477  dveflem  23490  dvef  23491  dvlipcn  23505  dvlt0  23516  plymullem1  23718  coeeulem  23728  dgradd2  23772  dgrmulc  23775  plydivlem3  23798  aareccl  23829  taylthlem1  23875  sin2kpi  23983  cos2kpi  23984  coshalfpim  23995  sinkpi  24019  chordthmlem3  24305  chordthmlem5  24307  dcubic1lem  24314  dcubic  24317  atancj  24381  atanlogaddlem  24384  atanlogsublem  24386  scvxcvx  24456  zetacvg  24485  ftalem5  24547  ftalem7  24549  basellem3  24553  chtublem  24680  rplogsumlem2  24918  dchrisumlem1  24922  pntrlog2bndlem2  25011  brbtwn2  25530  axlowdimlem16  25582  axeuclidlem  25587  bcm1n  28734  2sqn0  28770  esumpfinvallem  29256  signsplypnf  29746  signstfvn  29765  cvxpcon  30271  cvxscon  30272  fwddifnp1  31235  tan2h  32354  poimirlem16  32378  mbfposadd  32410  itg2addnc  32417  ftc1anclem5  32442  bfplem2  32575  pellexlem6  36199  jm2.18  36356  relexpaddss  36812  int-add02d  37293  sub2times  38209  fzisoeu  38238  xralrple2  38294  cosknegpi  38535  dvsinax  38584  dvasinbx  38593  dvnxpaek  38615  dvnmul  38616  stoweidlem1  38677  stoweidlem13  38689  stoweidlem42  38718  stirlinglem5  38754  stirlinglem11  38760  fourierdlem42  38825  fourierdlem51  38833  fourierdlem88  38870  fourierdlem103  38885  fourierdlem104  38886  fourierdlem107  38889  sqwvfoura  38904  sqwvfourb  38905  fouriersw  38907  elaa2lem  38909  hspmbllem1  39299  pfxpfx  40062  cnambpcma  40147  eucrct2eupth  41394  altgsumbcALT  41905  nn0sumshdiglemA  42192
  Copyright terms: Public domain W3C validator