MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid2d 10275
Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addid2d (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addid2d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addid2 10257 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  negeu  10309  subge0  10579  sublt0d  10691  un0addcl  11364  lincmb01cmp  12353  ico01fl0  12660  discr  13041  ccatlid  13404  swrdfv0  13470  swrdswrd0  13508  cats1un  13521  swrdccatin2  13533  cshwidx0mod  13597  cshw1  13614  relexpaddg  13837  rennim  14023  max0add  14094  fsumsplit  14515  sumsplit  14543  isumsplit  14616  arisum2  14637  binomfallfaclem2  14815  efaddlem  14867  eftlub  14883  ef4p  14887  rpnnen2lem11  14997  moddvds  15038  divalglem9  15171  sadadd2lem2  15219  sadcaddlem  15226  pcmpt  15643  4sqlem11  15706  vdwlem6  15737  gsumccat  17425  mulgnn0dir  17618  sylow1lem1  18059  efgsval2  18192  efgsp1  18196  zaddablx  18321  pgpfaclem1  18526  mplcoe5  19516  regsumfsum  19862  regsumsupp  20016  nrmmetd  22426  blcvx  22648  xrsxmet  22659  reparphti  22843  nulmbl  23349  itg2splitlem  23560  itg2split  23561  itg2monolem1  23562  itgsplitioo  23649  ditgsplit  23670  dvcnp2  23728  dvcmul  23752  dvcmulf  23753  dvmptcmul  23772  dveflem  23787  dvef  23788  dvlipcn  23802  dvlt0  23813  plymullem1  24015  coeeulem  24025  dgradd2  24069  dgrmulc  24072  plydivlem3  24095  aareccl  24126  taylthlem1  24172  sin2kpi  24280  cos2kpi  24281  coshalfpim  24292  sinkpi  24316  chordthmlem3  24606  chordthmlem5  24608  dcubic1lem  24615  dcubic  24618  atancj  24682  atanlogaddlem  24685  atanlogsublem  24687  scvxcvx  24757  zetacvg  24786  ftalem5  24848  ftalem7  24850  basellem3  24854  chtublem  24981  rplogsumlem2  25219  dchrisumlem1  25223  pntrlog2bndlem2  25312  brbtwn2  25830  axlowdimlem16  25882  axeuclidlem  25887  eucrct2eupth  27223  2clwwlk2clwwlk  27338  bcm1n  29682  2sqn0  29774  esumpfinvallem  30264  signsplypnf  30755  signstfvn  30774  fsum2dsub  30813  logdivsqrle  30856  cvxpconn  31350  cvxsconn  31351  fwddifnp1  32397  tan2h  33531  poimirlem16  33555  mbfposadd  33587  itg2addnc  33594  ftc1anclem5  33619  bfplem2  33752  pellexlem6  37715  jm2.18  37872  relexpaddss  38327  int-add02d  38805  sub2times  39799  fzisoeu  39828  xralrple2  39883  cosknegpi  40398  dvsinax  40445  dvasinbx  40453  dvnxpaek  40475  dvnmul  40476  stoweidlem1  40536  stoweidlem13  40548  stoweidlem42  40577  stirlinglem5  40613  stirlinglem11  40619  fourierdlem42  40684  fourierdlem51  40692  fourierdlem88  40729  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem107  40748  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  fouriersw  40766  elaa2lem  40768  hspmbllem1  41161  cnambpcma  41634  pfxpfx  41740  altgsumbcALT  42456  nn0sumshdiglemA  42738
  Copyright terms: Public domain W3C validator