Theorem addid2d 10843

Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addid2d	⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addid2 10825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539   + caddc 10542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682

This theorem is referenced by:  negeu  10878  subge0  11155  sublt0d  11268  un0addcl  11933  lincmb01cmp  12884  ico01fl0  13192  discr  13604  ccatlid  13942  swrdfv0  14013  swrdpfx  14071  pfxpfx  14072  cats1un  14085  swrdccatin2  14093  cshwidx0mod  14169  cshw1  14186  relexpaddg  14414  rennim  14600  max0add  14672  fsumsplit  15099  sumsplit  15125  isumsplit  15197  arisum2  15218  binomfallfaclem2  15396  efaddlem  15448  eftlub  15464  ef4p  15468  rpnnen2lem11  15579  moddvds  15620  divalglem9  15754  sadadd2lem2  15801  sadcaddlem  15808  gcdmultipled  15884  pcmpt  16230  4sqlem11  16293  vdwlem6  16324  gsumsgrpccat  18006  gsumccatOLD  18007  mulgnn0dir  18259  sylow1lem1  18725  efgsval2  18861  efgsp1  18865  zaddablx  18994  pgpfaclem1  19205  mplcoe5  20251  regsumfsum  20615  regsumsupp  20768  nrmmetd  23186  blcvx  23408  xrsxmet  23419  reparphti  23603  nulmbl  24138  itg2splitlem  24351  itg2split  24352  itg2monolem1  24353  itgsplitioo  24440  ditgsplit  24461  dvcnp2  24519  dvcmul  24543  dvcmulf  24544  dvmptcmul  24563  dveflem  24578  dvef  24579  dvlipcn  24593  dvlt0  24604  plymullem1  24806  coeeulem  24816  dgradd2  24860  dgrmulc  24863  plydivlem3  24886  aareccl  24917  taylthlem1  24963  sin2kpi  25071  cos2kpi  25072  coshalfpim  25083  sinkpi  25109  chordthmlem3  25414  chordthmlem5  25416  dcubic1lem  25423  dcubic  25426  atancj  25490  atanlogaddlem  25493  atanlogsublem  25495  scvxcvx  25565  zetacvg  25594  ftalem5  25656  ftalem7  25658  basellem3  25662  chtublem  25789  2sqn0  26012  2sqnn  26017  rplogsumlem2  26063  dchrisumlem1  26067  pntrlog2bndlem2  26156  brbtwn2  26693  axlowdimlem16  26745  axeuclidlem  26750  elntg2  26773  eucrct2eupth  28026  2clwwlk2clwwlk  28131  bcm1n  30520  wrdt2ind  30629  esumpfinvallem  31335  signsplypnf  31822  fsum2dsub  31880  logdivsqrle  31923  revpfxsfxrev  32364  cvxpconn  32491  cvxsconn  32492  fwddifnp1  33628  tan2h  34886  poimirlem16  34910  mbfposadd  34941  itg2addnc  34948  ftc1anclem5  34973  bfplem2  35103  dffltz  39278  3cubeslem3r  39291  pellexlem6  39438  jm2.18  39592  relexpaddss  40070  int-add02d  40545  sub2times  41547  fzisoeu  41574  xralrple2  41629  cosknegpi  42157  dvsinax  42204  dvasinbx  42212  dvnxpaek  42234  dvnmul  42235  stoweidlem1  42293  stoweidlem13  42305  stoweidlem42  42334  stirlinglem5  42370  stirlinglem11  42376  fourierdlem42  42441  fourierdlem51  42449  fourierdlem88  42486  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem107  42505  sqwvfoura  42520  sqwvfourb  42521  fouriersw  42523  elaa2lem  42525  hspmbllem1  42915  cnambpcma  43501  readdcnnred  43510  nn0mnd  44093  altgsumbcALT  44408  nn0sumshdiglemA  44686  line2xlem  44747  line2x  44748  itschlc0yqe  44754  itsclc0yqsollem1  44756  itschlc0xyqsol1  44760  itschlc0xyqsol  44761  2itscp  44775