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 Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. A much shorter proof exists if the "divides" relation ∥ can be used, see addmodlteqALT 15041. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12466 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
21zred 11479 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1081 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℝ)
4 simp3 1062 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℤ)
54zred 11479 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
6 elfzo0 12504 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
76simp2bi 1076 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
87nnrpd 11867 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
983ad2ant1 1081 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10 modaddmod 12704 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
113, 5, 9, 10syl3anc 1325 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
1211eqcomd 2627 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
13 elfzoelz 12466 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
1413zred 11479 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1082 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℝ)
16 modaddmod 12704 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
1715, 5, 9, 16syl3anc 1325 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
1817eqcomd 2627 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
1912, 18eqeq12d 2636 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
20 nn0re 11298 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
21 nnrp 11839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2220, 21anim12i 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
23223adant3 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
24 modcl 12667 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
266, 25sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
27263ad2ant1 1081 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2827, 5readdcld 10066 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ)
29 modcl 12667 . . . . . . 7 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℝ)
3029recnd 10065 . . . . . 6 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
3128, 9, 30syl2anc 693 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
32 elfzo0 12504 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
33 nn0re 11298 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℝ)
3433, 21anim12i 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
35343adant3 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
36 modcl 12667 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
3832, 37sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1082 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
4039, 5readdcld 10066 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ)
41 modcl 12667 . . . . . . 7 ((((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℝ)
4241recnd 10065 . . . . . 6 ((((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
4340, 9, 42syl2anc 693 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
4431, 43subeq0ad 10399 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
45 oveq1 6654 . . . . 5 (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
46 modsubmodmod 12724 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4728, 40, 9, 46syl3anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4826recnd 10065 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
49483ad2ant1 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
5038recnd 10065 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
51503ad2ant2 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
524zcnd 11480 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℂ)
5349, 51, 52pnpcan2d 10427 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) = ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)))
5453oveq1d 6662 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5547, 54eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5632simp2bi 1076 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5756nnrpd 11867 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58 0mod 12696 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
60593ad2ant2 1082 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑁) = 0)
6155, 60eqeq12d 2636 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0))
62 zmodidfzoimp 12695 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
63623ad2ant1 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
64 zmodidfzoimp 12695 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
65643ad2ant2 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
6663, 65oveq12d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) = (𝐼𝐽))
6766oveq1d 6662 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐼𝐽) mod 𝑁))
6867eqeq1d 2623 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0))
69 zsubcl 11416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
701, 13, 69syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
7170zred 11479 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
728adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
73 mod0 12670 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
7471, 72, 73syl2anc 693 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
75 zdiv 11444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
767, 70, 75syl2an2r 876 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
77 oveq2 6655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
78 elfzoel2 12465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
7978zcnd 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8079mul01d 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 · 0) = 0)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 · 0) = 0)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0) = 0)
8377, 82sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑘) = 0)
8483eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ 0 = (𝐼𝐽)))
85 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = (𝐼𝐽) ↔ (𝐼𝐽) = 0)
861zcnd 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
8713zcnd 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
88 subeq0 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
8986, 87, 88syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
9089biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
9185, 90syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9484, 93sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9594ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
96 subfzo0 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
98 elz 11376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
99 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 0 → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
10099a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))
1011002a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
102 breq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 ↔ (𝐼𝐽) < 𝑁))
103 nncn 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
104103mulid1d 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
106105eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
107106breq2d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
108 nnre 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
110 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
11121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
112109, 110, 111ltmul2d 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
113 nnge1 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
114 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
115114, 108lenltd 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 1))
116 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘 < 1 → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
117115, 116syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑘 → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽)))
118113, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
119118adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
120112, 119sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1) → 𝐼 = 𝐽))
121107, 120sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽))
122121ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
1231223ad2ant2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
12432, 123sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
126125com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))
127126a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽))))
128102, 127syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → ((𝐼𝐽) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))))
129128com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
130129com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝐽) < 𝑁 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
131130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
132131com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
133132a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
134 breq2 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) ↔ -𝑁 < (𝐼𝐽)))
135 nnre 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
136 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
137 remulcl 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
138135, 136, 137syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
139135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
140138, 139possumd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝑁 · 𝑘)))
141103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
142141mulid1d 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
143142eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
144143oveq2d 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
145 recn 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℂ)
146145adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
148 1cnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℂ)
149141, 147, 148adddid 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
150144, 149eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑘 + 1)))
151150breq2d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1))))
152 peano2re 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
153152adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
154153adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
155139, 154remulcld 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
156 0red 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
157 nnnn0 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
158157nn0ge0d 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
159 nnge1 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ -𝑘)
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℂ → 𝑘 ∈ ℂ)
161 1cnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
162160, 161addcomd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
163161, 160subnegd 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ ℂ → (1 − -𝑘) = (1 + 𝑘))
164162, 163eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
165145, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
166165adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
167 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
168 renegcl 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℝ → -𝑘 ∈ ℝ)
169167, 168suble0d 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℝ → ((1 − -𝑘) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -𝑘))
170169biimparc 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (1 − -𝑘) ≤ 0)
171166, 170eqbrtrd 4673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
172159, 171sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
173158, 172anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))
174173olcd 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0)))
175 mulle0b 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0 ↔ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))))
176135, 153, 175syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0 ↔ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))))
177174, 176mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0)
178155, 156, 177lensymd 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ¬ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
179178pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)) → 𝐼 = 𝐽))
180151, 179sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
181140, 180sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))
182181a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽)))
183182ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
1841833ad2ant2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
1856, 184sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
186185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
187186com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽))))
188134, 187syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))))
189188com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
190189com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
191190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
192191com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
193192ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
194101, 133, 1933jaoi 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
195194impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
19698, 195sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
197196impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))
19897, 197mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
199198com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 = 0 → (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
20095, 199pm2.61i 176 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
201200rexlimdva 3029 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
20276, 201sylbird 250 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ → 𝐼 = 𝐽))
20374, 202sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
2042033adant3 1080 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20568, 204sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20661, 205sylbid 230 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
20745, 206syl5 34 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20844, 207sylbird 250 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
20919, 208sylbid 230 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
210 oveq1 6654 . . 3 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
211210oveq1d 6662 . 2 (𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
212209, 211impbid1 215 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∃wrex 2912   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938   < clt 10071   ≤ cle 10072   − cmin 10263  -cneg 10264   / cdiv 10681  ℕcn 11017  ℕ0cn0 11289  ℤcz 11374  ℝ+crp 11829  ..^cfzo 12461   mod cmo 12663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664 This theorem is referenced by:  cshf1  13550
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