MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addmodlteqALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addmodlteqALT 14971
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 12685 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteqALT ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteqALT
StepHypRef Expression
1 elfzo0 12449 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2 elfzoelz 12411 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
3 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 nn0z 11344 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
54ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6 zaddcl 11361 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
75, 6sylan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
8 zaddcl 11361 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
98adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
103, 7, 93jca 1240 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
1110exp31 629 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
122, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
1312com12 32 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
14133adant3 1079 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
151, 14sylbi 207 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
16153imp 1254 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
17 moddvds 14915 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
19 elfzoel2 12410 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 zcn 11326 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2120subid1d 10325 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
2221eqcomd 2627 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
2319, 22syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
24233ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
25 elfzoelz 12411 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2625zcnd 11427 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
272zcnd 11427 . . . 4 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
28 zcn 11326 . . . 4 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℂ)
29 pnpcan2 10265 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼𝐽))
3026, 27, 28, 29syl3an 1365 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼𝐽))
3124, 30breq12d 4626 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) ↔ (𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽)))
32 fzocongeq 14970 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
33323adant3 1079 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3418, 31, 333bitrd 294 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ..^cfzo 12406   mod cmo 12608  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator