MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addnqf 10358
Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnqf +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf
StepHypRef Expression
1 nqerf 10340 . . . 4 [Q]:(N × N)⟶Q
2 addpqf 10354 . . . 4 +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3 fco 6524 . . . 4 (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
41, 2, 3mp2an 688 . . 3 ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5 elpqn 10335 . . . . 5 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
65ssriv 3968 . . . 4 Q ⊆ (N × N)
7 xpss12 5563 . . . 4 ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
86, 6, 7mp2an 688 . . 3 (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9 fssres 6537 . . 3 ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
104, 8, 9mp2an 688 . 2 (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11 df-plq 10324 . . 3 +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
1211feq1i 6498 . 2 ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
1310, 12mpbir 232 1 +Q :(Q × Q)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3933   × cxp 5546  cres 5550  ccom 5552  wf 6344  Ncnpi 10254   +pQ cplpq 10258  Qcnq 10262  [Q]cerq 10264   +Q cplq 10265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-1nq 10326
This theorem is referenced by:  addcomnq  10361  adderpq  10366  addassnq  10368  distrnq  10371  ltanq  10381  ltexnq  10385  nsmallnq  10387  ltbtwnnq  10388  prlem934  10443  ltaddpr  10444  ltexprlem2  10447  ltexprlem3  10448  ltexprlem4  10449  ltexprlem6  10451  ltexprlem7  10452  prlem936  10457
  Copyright terms: Public domain W3C validator