Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addrcom 40684
Description: Vector addition is commutative. (Contributed by Andrew Salmon, 28-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
addrcom ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))

Proof of Theorem addrcom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addrfn 40681 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)
2 addrfn 40681 . . 3 ((𝐵𝐷𝐴𝐶) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
32ancoms 459 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
4 addcomgi 40665 . . . . . 6 ((𝐴𝑥) + (𝐵𝑥)) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥))
5 addrfv 40678 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐴𝑥) + (𝐵𝑥)))
6 addrfv 40678 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷𝐴𝐶𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥)))
763com12 1115 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥)))
84, 5, 73eqtr4a 2879 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
983expia 1113 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
109ralrimiv 3178 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
11 eqfnfv 6794 . . 3 (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
1210, 11syl5ibrcom 248 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴)))
131, 3, 12mp2and 695 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528  +𝑟cplusr 40666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-addr 40672
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator