Theorem addrfn 40810

Description: Vector addition produces a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
addrfn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem addrfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7192	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2824	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6494	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ
4		addrval 40804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))))
5	4	fneq1d 6449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ))
6	3, 5	mpbiri 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5149   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539   + caddc 10543  +_𝑟cplusr 40795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-addr 40801

This theorem is referenced by:  addrcom  40813