MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsubd 10261
Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addsubd (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 addsub 10140 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6524  cc 9787   + caddc 9792  cmin 10114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932  df-sub 10116
This theorem is referenced by:  lesub2  10369  fzoshftral  12399  modadd1  12521  discr  12815  bcp1n  12917  bcpasc  12922  revccat  13309  crre  13645  isercoll2  14190  binomlem  14343  climcndslem1  14363  binomfallfaclem2  14553  pythagtriplem14  15314  vdwlem6  15471  gsumccat  17144  srgbinomlem3  18308  itgcnlem  23276  dvcvx  23501  dvfsumlem1  23507  dvfsumlem2  23508  plymullem1  23688  aaliou3lem2  23816  abelthlem2  23904  tangtx  23975  loglesqrt  24213  dcubic1  24286  quart1lem  24296  quartlem1  24298  basellem3  24523  basellem5  24525  chtub  24651  logfaclbnd  24661  bcp1ctr  24718  lgsquad2lem1  24823  2lgslem3b  24836  selberglem1  24948  selberg3  24962  selbergr  24971  selberg3r  24972  pntlemf  25008  pntlemo  25010  brbtwn2  25500  colinearalglem1  25501  colinearalglem2  25502  clwwlkel  26084  ltesubnnd  28758  ballotlemfp1  29683  subfacp1lem6  30224  fwddifnp1  31245  poimirlem25  32404  poimirlem26  32405  jm2.24nn  36344  jm2.18  36373  jm2.25  36384  dvnmul  38634  fourierdlem4  38805  fourierdlem26  38827  fourierdlem42  38843  vonicclem1  39375  fmtnorec4  39801  cnambpcma  40165  cnapbmcpd  40166  crctcsh  41026  clwwlksel  41220  ltsubaddb  42097  ltsubadd2b  42099
  Copyright terms: Public domain W3C validator