MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsubd 10373
Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addsubd (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 addsub 10252 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894   + caddc 9899  cmin 10226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228
This theorem is referenced by:  lesub2  10483  fzoshftral  12541  modadd1  12663  discr  12957  bcp1n  13059  bcpasc  13064  revccat  13468  crre  13804  isercoll2  14349  binomlem  14505  climcndslem1  14525  binomfallfaclem2  14715  pythagtriplem14  15476  vdwlem6  15633  gsumccat  17318  srgbinomlem3  18482  itgcnlem  23496  dvcvx  23721  dvfsumlem1  23727  dvfsumlem2  23728  plymullem1  23908  aaliou3lem2  24036  abelthlem2  24124  tangtx  24195  loglesqrt  24433  dcubic1  24506  quart1lem  24516  quartlem1  24518  basellem3  24743  basellem5  24745  chtub  24871  logfaclbnd  24881  bcp1ctr  24938  lgsquad2lem1  25043  2lgslem3b  25056  selberglem1  25168  selberg3  25182  selbergr  25191  selberg3r  25192  pntlemf  25228  pntlemo  25230  brbtwn2  25719  colinearalglem1  25720  colinearalglem2  25721  crctcsh  26619  clwwlksel  26814  ltesubnnd  29451  ballotlemfp1  30376  subfacp1lem6  30928  fwddifnp1  31967  poimirlem25  33105  poimirlem26  33106  jm2.24nn  37045  jm2.18  37074  jm2.25  37085  dvnmul  39495  fourierdlem4  39665  fourierdlem26  39687  fourierdlem42  39703  vonicclem1  40234  cnambpcma  40636  cnapbmcpd  40637  fmtnorec4  40790  ltsubaddb  41622  ltsubadd2b  41624
  Copyright terms: Public domain W3C validator