Theorem addsubd 11020

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 10899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   + caddc 10542   − cmin 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874

This theorem is referenced by:  lesub2  11137  fzoshftral  13157  modadd1  13279  discr  13604  bcp1n  13679  bcpasc  13684  revccat  14130  crre  14475  isercoll2  15027  binomlem  15186  climcndslem1  15206  binomfallfaclem2  15396  pythagtriplem14  16167  vdwlem6  16324  gsumsgrpccat  18006  gsumccatOLD  18007  srgbinomlem3  19294  itgcnlem  24392  dvcvx  24619  dvfsumlem1  24625  dvfsumlem2  24626  plymullem1  24806  aaliou3lem2  24934  abelthlem2  25022  tangtx  25093  loglesqrt  25341  dcubic1  25425  quart1lem  25435  quartlem1  25437  basellem3  25662  basellem5  25664  chtub  25790  logfaclbnd  25800  bcp1ctr  25857  lgsquad2lem1  25962  2lgslem3b  25975  selberglem1  26123  selberg3  26137  selbergr  26146  selberg3r  26147  pntlemf  26183  pntlemo  26185  brbtwn2  26693  colinearalglem1  26694  colinearalglem2  26695  crctcsh  27604  clwwlkccatlem  27769  clwwlkel  27827  clwwlkwwlksb  27835  clwwlknonex2lem1  27888  ltesubnnd  30540  ballotlemfp1  31751  swrdwlk  32375  subfacp1lem6  32434  fwddifnp1  33628  poimirlem25  34919  poimirlem26  34920  jm2.24nn  39563  jm2.18  39592  jm2.25  39603  dvnmul  42235  fourierdlem4  42403  fourierdlem26  42425  fourierdlem42  42441  vonicclem1  42972  cnambpcma  43501  cnapbmcpd  43502  fmtnorec4  43718  ltsubaddb  44576  ltsubadd2b  44578  2itscplem3  44774