MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubeq4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsubeq4 10334
Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
addsubeq4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶𝐴) = (𝐵𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4
StepHypRef Expression
1 eqcom 2658 . . 3 ((𝐶𝐴) = (𝐵𝐷) ↔ (𝐵𝐷) = (𝐶𝐴))
2 subcl 10318 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
32ancoms 468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
4 subadd 10322 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
543expa 1284 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
65ancoms 468 . . . . 5 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
73, 6sylan 487 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
87an4s 886 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
91, 8syl5bb 272 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶𝐴) = (𝐵𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
10 addcom 10260 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1211oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴))
13 addsubass 10329 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
14133com12 1288 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
15143expa 1284 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1615ancoms 468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1712, 16eqtrd 2685 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1817adantlr 751 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1918eqeq1d 2653 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
20 addcl 10056 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
21 subadd 10322 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
22213expb 1285 . . . 4 (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
2322ancoms 468 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
2420, 23sylan2 490 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
259, 19, 243bitr2rd 297 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶𝐴) = (𝐵𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  subcan  10374  addsubeq4d  10481  dvsqrt  24528  dvcnsqrt  24530
  Copyright terms: Public domain W3C validator