Theorem adjadj 29707

Description: Double adjoint. Theorem 3.11(iv) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjadj	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)

Proof of Theorem adjadj

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj2 29705	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)))
2		dmadjrn 29666	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
3		adj1 29704	. . . . . 6 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)) = (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
4	2, 3	syl3an1 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)) = (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
5	1, 4	eqtr2d 2857	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	3expib 1118	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
7	6	ralrimivv 3190	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
8		dmadjrn 29666	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ dom adjℎ)
9		dmadjop 29659	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
11		dmadjop 29659	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
12		hoeq1 29601	. . 3 ⊢ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇))
13	10, 11, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇))
14	7, 13	mpbid 234	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  dom cdm 5549  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ℋchba 28690   ·_ih csp 28693  adj_ℎcado 28726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his2 28854  ax-his3 28855  ax-his4 28856

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-hvsub 28742  df-adjh 29620

This theorem is referenced by:  adjbd1o  29856  adjsslnop  29858  nmopadji  29861  adjeq0  29862  nmopcoadji  29872  nmopcoadj2i  29873