HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjcoi 28145
Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
adjcoi (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))

Proof of Theorem adjcoi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ BndLinOp
2 adjbdln 28128 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ BndLinOp)
3 bdopf 27907 . . . . . . . 8 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
41, 2, 3mp2b 10 . . . . . . 7 (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ
5 nmoptri.1 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ BndLinOp
6 adjbdln 28128 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ BndLinOp → (adj𝑆) ∈ BndLinOp)
7 bdopf 27907 . . . . . . . 8 ((adj𝑆) ∈ BndLinOp → (adj𝑆): ℋ⟶ ℋ)
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7 (adj𝑆): ℋ⟶ ℋ
94, 8hocoi 27809 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦) = ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦)))
109oveq2d 6539 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
1110adantl 480 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
12 bdopf 27907 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
135, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑆: ℋ⟶ ℋ
14 bdopf 27907 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
151, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1613, 15hocoi 27809 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
1716oveq1d 6538 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
1817adantr 479 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
1915ffvelrni 6247 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
20 bdopadj 28127 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ dom adj)
215, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑆 ∈ dom adj
22 adj2 27979 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ dom adj ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)))
2321, 22mp3an1 1402 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)))
2419, 23sylan 486 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)))
258ffvelrni 6247 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → ((adj𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ)
26 bdopadj 28127 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adj)
271, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇 ∈ dom adj
28 adj2 27979 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
2927, 28mp3an1 1402 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
3025, 29sylan2 489 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
3118, 24, 303eqtrd 2643 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
325, 1bdopcoi 28143 . . . . . 6 (𝑆𝑇) ∈ BndLinOp
33 bdopadj 28127 . . . . . 6 ((𝑆𝑇) ∈ BndLinOp → (𝑆𝑇) ∈ dom adj)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 (𝑆𝑇) ∈ dom adj
35 adj2 27979 . . . . 5 (((𝑆𝑇) ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)))
3634, 35mp3an1 1402 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)))
3711, 31, 363eqtr2rd 2646 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)))
3837rgen2a 2955 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦))
39 adjbdln 28128 . . . 4 ((𝑆𝑇) ∈ BndLinOp → (adj‘(𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp)
40 bdopf 27907 . . . 4 ((adj‘(𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp → (adj‘(𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
4132, 39, 40mp2b 10 . . 3 (adj‘(𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
424, 8hocofi 27811 . . 3 ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆)): ℋ⟶ ℋ
43 hoeq2 27876 . . 3 (((adj‘(𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) ↔ (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))))
4441, 42, 43mp2an 703 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) ↔ (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆)))
4538, 44mpbi 218 1 (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  dom cdm 5024  ccom 5028  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  chil 26962   ·ih csp 26965  BndLinOpcbo 26991  adjcado 26998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868  ax-hilex 27042  ax-hfvadd 27043  ax-hvcom 27044  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvmulass 27050  ax-hvdistr1 27051  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053  ax-hfi 27122  ax-his1 27125  ax-his2 27126  ax-his3 27127  ax-his4 27128  ax-hcompl 27245
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-lm 20781  df-t1 20866  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cfil 22775  df-cau 22776  df-cmet 22777  df-grpo 26493  df-gid 26494  df-ginv 26495  df-gdiv 26496  df-ablo 26548  df-vc 26563  df-nv 26611  df-va 26614  df-ba 26615  df-sm 26616  df-0v 26617  df-vs 26618  df-nmcv 26619  df-ims 26620  df-dip 26737  df-ssp 26761  df-lno 26785  df-nmoo 26786  df-0o 26788  df-ph 26854  df-cbn 26905  df-hnorm 27011  df-hba 27012  df-hvsub 27014  df-hlim 27015  df-hcau 27016  df-sh 27250  df-ch 27264  df-oc 27295  df-ch0 27296  df-shs 27353  df-pjh 27440  df-h0op 27793  df-nmop 27884  df-cnop 27885  df-lnop 27886  df-bdop 27887  df-unop 27888  df-hmop 27889  df-nmfn 27890  df-nlfn 27891  df-cnfn 27892  df-lnfn 27893  df-adjh 27894
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  28246
  Copyright terms: Public domain W3C validator