HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjlnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjlnop 29073
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ LinOp)

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 28882 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
2 dmadjop 28875 . . 3 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4 simp2 1082 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑤 ∈ ℋ)
5 adjcl 28919 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
6 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
75, 6sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
87an12s 860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
98adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
1093adant2 1100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
11 adjcl 28919 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑧 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
1211adantrl 752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
13123adant2 1100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
14 his7 28075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
154, 10, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
16 adj2 28921 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
17163adant3l 1362 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1817oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
19 simp3l 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
20 dmadjop 28875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
22213adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
23 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
24 his5 28071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
2519, 22, 23, 24syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
26 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑤 ∈ ℋ)
275adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
28273adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
29 his5 28071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
3118, 25, 303eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))))
32313adant3r 1363 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))))
33 adj2 28921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧)))
34333adant3l 1362 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧)))
3532, 34oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
36213adant3 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
37 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
39383ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
40 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
41 his7 28075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)))
4236, 39, 40, 41syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)))
43 hvaddcl 27997 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
4437, 43sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
45 adj2 28921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4644, 45syl3an3 1401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4742, 46eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4815, 35, 473eqtr2rd 2692 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
49483com23 1291 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
50493expa 1284 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5150ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
52 adjcl 28919 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
5344, 52sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
54 hvaddcl 27997 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
558, 11, 54syl2an 493 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
5655anandis 890 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
57 hial2eq2 28092 . . . . . . 7 ((((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) ↔ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5853, 56, 57syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) ↔ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5951, 58mpbid 222 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))
6059exp32 630 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))))
6160ralrimdv 2997 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
6261ralrimivv 2999 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))
63 ellnop 28845 . 2 ((adj𝑇) ∈ LinOp ↔ ((adj𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
643, 62, 63sylanbrc 699 1 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977   · cmul 9979  ccj 13880  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906   ·ih csp 27907  LinOpclo 27932  adjcado 27940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-hvsub 27956  df-lnop 28828  df-adjh 28836
This theorem is referenced by:  adjsslnop  29074
  Copyright terms: Public domain W3C validator