HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmul 28821
Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 28617 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 homulcl 28488 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2sylan2 491 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4 cjcl 13787 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5 dmadjrn 28624 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
6 dmadjop 28617 . . . 4 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
8 homulcl 28488 . . 3 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
94, 7, 8syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
10 adj2 28663 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
11103expb 1263 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1211adantll 749 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1312oveq2d 6626 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
141ffvelrnda 6320 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
15 ax-his3 27811 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
1614, 15syl3an2 1357 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
17163exp 1261 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))))
1817expd 452 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑇 ∈ dom adj → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))))))
1918imp43 620 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
20 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 simprl 793 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
22 adjcl 28661 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
2322ad2ant2l 781 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
24 his52 27814 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2613, 19, 253eqtr4d 2665 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
27 homval 28470 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
281, 27syl3an2 1357 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
29283expa 1262 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3029adantrr 752 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3130oveq1d 6625 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
32 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
33 homval 28470 . . . . . . . 8 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
344, 7, 32, 33syl3an 1365 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
35343expa 1262 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3635adantrl 751 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3736oveq2d 6626 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
3826, 31, 373eqtr4d 2665 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
3938ralrimivva 2966 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
40 adjeq 28664 . 2 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦))) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
413, 9, 39, 40syl3anc 1323 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  dom cdm 5079  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886   · cmul 9893  ccj 13778  chil 27646   · csm 27648   ·ih csp 27649   ·op chot 27666  adjcado 27682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737  ax-hfi 27806  ax-his1 27809  ax-his2 27810  ax-his3 27811  ax-his4 27812
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-2 11031  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-hvsub 27698  df-homul 28460  df-adjh 28578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator