MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem advlog 25164
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10617 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 rpre 12385 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
43adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
54recnd 10657 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 1cnd 10624 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 recn 10615 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 10630 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
102dvmptid 24481 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
11 rpssre 12384 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
13 eqid 2818 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1413tgioo2 23338 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
15 ioorp 12802 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
16 iooretop 23301 . . . . . . 7 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
1715, 16eqeltrri 2907 . . . . . 6 + ∈ (topGen‘ran (,))
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
192, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 18dvmptres 24487 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
20 relogcl 25086 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22 peano2rem 10941 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2423recnd 10657 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
25 rpreccl 12403 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2625adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 12421 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
2821recnd 10657 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29 dvrelog 25147 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
30 relogf1o 25077 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
31 f1of 6608 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3332feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
34 fvres 6682 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
3534mpteq2ia 5148 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
3633, 35syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3736oveq2d 7161 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
3829, 37syl5reqr 2868 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
39 0cnd 10622 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
40 1cnd 10624 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
41 0cnd 10622 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
42 1cnd 10624 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
432, 42dvmptc 24482 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
442, 40, 41, 43, 12, 14, 13, 18dvmptres 24487 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 0))
452, 28, 27, 38, 6, 39, 44dvmptsub 24491 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)))
4627subid1d 10974 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) − 0) = (1 / 𝑥))
4746mpteq2dva 5152 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
4845, 47eqtrd 2853 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
492, 5, 6, 19, 24, 27, 48dvmptmul 24485 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))))
5024mulid2d 10647 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · ((log‘𝑥) − 1)) = ((log‘𝑥) − 1))
51 rpne0 12393 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
5251adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
535, 52recid2d 11400 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
5450, 53oveq12d 7163 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) + 1))
55 ax-1cn 10583 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
56 npcan 10883 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5728, 55, 56sylancl 586 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5854, 57eqtrd 2853 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (log‘𝑥))
5958mpteq2dva 5152 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6049, 59eqtrd 2853 . 2 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6160mptru 1535 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  {cpr 4559  cmpt 5137  ran crn 5549  cres 5550  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  cmin 10858   / cdiv 11285  +crp 12377  (,)cioo 12726  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  fldccnfld 20473   D cdv 24388  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  25726
  Copyright terms: Public domain W3C validator