MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem advlog 24300
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9972 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 rpre 11783 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
43adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
54recnd 10012 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 1cnd 10000 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 recn 9970 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 9999 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
102dvmptid 23626 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
11 rpssre 11787 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
13 eqid 2621 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1413tgioo2 22514 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
15 ioorp 12193 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
16 iooretop 22479 . . . . . . 7 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
1715, 16eqeltrri 2695 . . . . . 6 + ∈ (topGen‘ran (,))
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
192, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 18dvmptres 23632 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
20 relogcl 24226 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22 peano2rem 10292 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2423recnd 10012 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
25 rpreccl 11801 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2625adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 11818 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
2821recnd 10012 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29 dvrelog 24283 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
30 relogf1o 24217 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
31 f1of 6094 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3332feqmptd 6206 . . . . . . . . 9 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
34 fvres 6164 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
3534mpteq2ia 4700 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
3633, 35syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3736oveq2d 6620 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
3829, 37syl5reqr 2670 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
39 0cnd 9977 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
40 1cnd 10000 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
41 0cnd 9977 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
42 1cnd 10000 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
432, 42dvmptc 23627 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
442, 40, 41, 43, 12, 14, 13, 18dvmptres 23632 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 0))
452, 28, 27, 38, 6, 39, 44dvmptsub 23636 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)))
4627subid1d 10325 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) − 0) = (1 / 𝑥))
4746mpteq2dva 4704 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
4845, 47eqtrd 2655 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
492, 5, 6, 19, 24, 27, 48dvmptmul 23630 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))))
5024mulid2d 10002 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · ((log‘𝑥) − 1)) = ((log‘𝑥) − 1))
51 rpne0 11792 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
5251adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
535, 52recid2d 10741 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
5450, 53oveq12d 6622 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) + 1))
55 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
56 npcan 10234 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5728, 55, 56sylancl 693 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5854, 57eqtrd 2655 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (log‘𝑥))
5958mpteq2dva 4704 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6049, 59eqtrd 2655 . 2 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6160trud 1490 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wne 2790  wss 3555  {cpr 4150  cmpt 4673  ran crn 5075  cres 5076  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  cmin 10210   / cdiv 10628  +crp 11776  (,)cioo 12117  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665   D cdv 23533  logclog 24205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  24848
  Copyright terms: Public domain W3C validator