MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv2 24674
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.D (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv2
StepHypRef Expression
1 affineequiv.A . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 affineequiv.B . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 affineequiv.C . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 affineequiv.D . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4affineequiv 24673 . 2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
63, 1subcld 10505 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
73, 2subcld 10505 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
84, 6mulcld 10173 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
96, 7, 8subcanad 10548 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
103, 1, 2nnncan1d 10539 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = (𝐵𝐴))
11 1cnd 10169 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1211, 4, 6subdird 10600 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴)) = ((1 · (𝐶𝐴)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))
136mulid2d 10171 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝐶𝐴)) = (𝐶𝐴))
1413oveq1d 6780 . . . 4 (𝜑 → ((1 · (𝐶𝐴)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))
1512, 14eqtr2d 2759 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴)))
1610, 15eqeq12d 2739 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐴) − (𝐶𝐵)) = ((𝐶𝐴) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))
175, 9, 163bitr2d 296 1 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐵𝐴) = ((1 − 𝐷) · (𝐶𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1596  wcel 2103  (class class class)co 6765  cc 10047  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  cmin 10379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-ltxr 10192  df-sub 10381
This theorem is referenced by:  chordthmlem4  24682
  Copyright terms: Public domain W3C validator