Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  afv0nbfvbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem afv0nbfvbi 40551
Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
afv0nbfvbi (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi
StepHypRef Expression
1 afvvfveq 40548 . . 3 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
2 eleq1 2686 . . . 4 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
32biimpd 219 . . 3 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
41, 3mpcom 38 . 2 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
5 elnelne2 2904 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
65ancoms 469 . . . . 5 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
7 fvfundmfvn0 6185 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8 df-dfat 40516 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9 afvfundmfveq 40538 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
108, 9sylbir 225 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
11 eleq1 2686 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1211eqcoms 2629 . . . . . 6 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1312biimpd 219 . . . . 5 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
146, 7, 10, 134syl 19 . . . 4 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1514ex 450 . . 3 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
1615pm2.43d 53 . 2 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
174, 16impbid2 216 1 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  c0 3893  {csn 4150  dom cdm 5076  cres 5078  Fun wfun 5843  cfv 5849   defAt wdfat 40513  '''cafv 40514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-res 5088  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fv 5857  df-dfat 40516  df-afv 40517
This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  40595
  Copyright terms: Public domain W3C validator