MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajfuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ajfuni 27555
Description: The adjoint function is a function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfuni.5 𝐴 = (𝑈adj𝑊)
ajfuni.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ajfuni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
ajfuni Fun 𝐴

Proof of Theorem ajfuni
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab 5883 . . 3 (Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))} ↔ ∀𝑡∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
2 eqid 2626 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2626 . . . . 5 (·𝑖OLD𝑈) = (·𝑖OLD𝑈)
4 ajfuni.u . . . . 5 𝑈 ∈ CPreHilOLD
52, 3, 4ajmoi 27554 . . . 4 ∃*𝑠(𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))
6 3simpc 1058 . . . . 5 ((𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))) → (𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
76moimi 2524 . . . 4 (∃*𝑠(𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))) → ∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
85, 7ax-mp 5 . . 3 ∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))
91, 8mpgbir 1723 . 2 Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))}
104phnvi 27511 . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
11 ajfuni.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
12 eqid 2626 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13 eqid 2626 . . . . 5 (·𝑖OLD𝑊) = (·𝑖OLD𝑊)
14 ajfuni.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑈adj𝑊)
152, 12, 3, 13, 14ajfval 27504 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝐴 = {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))})
1610, 11, 15mp2an 707 . . 3 𝐴 = {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))}
1716funeqi 5870 . 2 (Fun 𝐴 ↔ Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))})
189, 17mpbir 221 1 Fun 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  ∃*wmo 2475  wral 2912  {copab 4677  Fun wfun 5844  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  NrmCVeccnv 27279  BaseSetcba 27281  ·𝑖OLDcdip 27395  adjcaj 27443  CPreHilOLDccphlo 27507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-t1 21023  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-grpo 27187  df-gid 27188  df-ginv 27189  df-gdiv 27190  df-ablo 27239  df-vc 27254  df-nv 27287  df-va 27290  df-ba 27291  df-sm 27292  df-0v 27293  df-vs 27294  df-nmcv 27295  df-ims 27296  df-dip 27396  df-aj 27445  df-ph 27508
This theorem is referenced by:  ajfun  27556
  Copyright terms: Public domain W3C validator