Theorem aleph1irr 14895

Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 14894	. 2 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ
2		reex 9972	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3		numth3 9237	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → ℝ ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ dom card
5		nnenom 12716	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
6	5	ensymi 7951	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
7		ruc 14892	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≺ ℝ
8		ensdomtr 8041	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → ω ≺ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 707	. . . . 5 ⊢ ω ≺ ℝ
10		sdomdom 7928	. . . . 5 ⊢ (ω ≺ ℝ → ω ≼ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ≼ ℝ
12		resdomq 14893	. . . 4 ⊢ ℚ ≺ ℝ
13		infdif 8976	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ dom card ∧ ω ≼ ℝ ∧ ℚ ≺ ℝ) → (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ)
14	4, 11, 12, 13	mp3an 1421	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ
15	14	ensymi 7951	. 2 ⊢ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)
16		domentr 7960	. 2 ⊢ (((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)) → (ℵ‘1𝑜) ≼ (ℝ ∖ ℚ))
17	1, 15, 16	mp2an 707	1 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ∖ cdif 3557   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ‘cfv 5850  ωcom 7013  1_𝑜c1o 7499   ≈ cen 7897   ≼ cdom 7898   ≺ csdm 7899  cardccrd 8706  ℵcale 8707  ℝcr 9880  ℕcn 10965  ℚcq 11732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-ac2 9230  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-har 8408  df-card 8710  df-aleph 8711  df-acn 8713  df-ac 8884  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-fz 12266  df-seq 12739

This theorem is referenced by: (None)