Theorem aleph1re 7445

Description: There are at least aleph-one real numbers.

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ ‘1o) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 4786	. . . . . 6 ⊢ (ℵ ‘∅) = ω
2		omex 4551	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ V
3		nnenom 7391	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
4	2, 3	ensymi 4348	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
5	1, 4	eqbrtr 2602	. . . . 5 ⊢ (ℵ ‘∅) ≈ ℕ
6		ruc 7443	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
7		ensdomtr 4405	. . . . 5 ⊢ (((ℵ ‘∅) ≈ ℕ ⋀ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ ‘∅) ≺ ℝ)
8	5, 6, 7	mp2an 694	. . . 4 ⊢ (ℵ ‘∅) ≺ ℝ
9		alephnbtwn2 4792	. . . . 5 ⊢ ¬ ((ℵ ‘∅) ≺ ℝ ⋀ ℝ ≺ (ℵ ‘suc ∅))
10		imnan 242	. . . . 5 ⊢ (((ℵ ‘∅) ≺ ℝ → ¬ ℝ ≺ (ℵ ‘suc ∅)) ↔ ¬ ((ℵ ‘∅) ≺ ℝ ⋀ ℝ ≺ (ℵ ‘suc ∅)))
11	9, 10	mpbir 190	. . . 4 ⊢ ((ℵ ‘∅) ≺ ℝ → ¬ ℝ ≺ (ℵ ‘suc ∅))
12	8, 11	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ ‘suc ∅)
13		df-1o 4071	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
14	13	fveq2i 3666	. . . 4 ⊢ (ℵ ‘1o) = (ℵ ‘suc ∅)
15	14	breq2i 2595	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ ‘1o) ↔ ℝ ≺ (ℵ ‘suc ∅))
16	12, 15	mtbir 192	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ ‘1o)
17		fvex 3671	. . 3 ⊢ (ℵ ‘1o) ∈ V
18		reex 5235	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
19		domtri 4761	. . 3 ⊢ (((ℵ ‘1o) ∈ V ⋀ ℝ ∈ V) → ((ℵ ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ ‘1o)))
20	17, 18, 19	mp2an 694	. 2 ⊢ ((ℵ ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ ‘1o))
21	16, 20	mpbir 190	1 ⊢ (ℵ ‘1o) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 1105  Vcvv 1786  ∅c0 2251   class class class wbr 2587  suc csuc 2913  ωcom 3094   ‘cfv 3145  1_oc1o 4066   ≈ cen 4302   ≼ cdom 4303   ≺ csdm 4304  ℵcale 4738  ℝcr 5156  ℕcn 5219

This theorem is referenced by:  aleph1irr 7471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-reg 4517  ax-inf2 4549  ax-ac 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-card 4740  df-aleph 4741  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-3 5869  df-n0 5998  df-z 6034  df-seq1 6196

Copyright terms: Public domain