MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1re 14686
Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1re (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re
StepHypRef Expression
1 aleph0 8652 . . . . . 6 (ℵ‘∅) = ω
2 nnenom 12513 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 7772 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
41, 3eqbrtri 4502 . . . . 5 (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5 ruc 14684 . . . . 5 ℕ ≺ ℝ
6 ensdomtr 7861 . . . . 5 (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
74, 5, 6mp2an 703 . . . 4 (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8 alephnbtwn2 8658 . . . 4 ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
97, 8mptnan 1683 . . 3 ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10 df-1o 7327 . . . . 5 1𝑜 = suc ∅
1110fveq2i 5995 . . . 4 (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
1211breq2i 4489 . . 3 (ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
139, 12mtbir 311 . 2 ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)
14 fvex 6002 . . 3 (ℵ‘1𝑜) ∈ V
15 reex 9786 . . 3 ℝ ∈ V
16 domtri 9137 . . 3 (((ℵ‘1𝑜) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)))
1714, 15, 16mp2an 703 . 2 ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜))
1813, 17mpbir 219 1 (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 194  wcel 1938  Vcvv 3077  c0 3777   class class class wbr 4481  suc csuc 5532  cfv 5694  ωcom 6838  1𝑜c1o 7320  cen 7718  cdom 7719  csdm 7720  cale 8525  cr 9694  cn 10779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-inf2 8301  ax-ac2 9048  ax-cnex 9751  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-pre-mulgt0 9772  ax-pre-sup 9773
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-isom 5703  df-riota 6393  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-om 6839  df-1st 6939  df-2nd 6940  df-wrecs 7174  df-recs 7235  df-rdg 7273  df-1o 7327  df-er 7509  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-fin 7725  df-sup 8111  df-oi 8178  df-har 8226  df-card 8528  df-aleph 8529  df-ac 8702  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-xr 9837  df-ltxr 9838  df-le 9839  df-sub 10023  df-neg 10024  df-div 10438  df-nn 10780  df-2 10838  df-n0 11052  df-z 11123  df-uz 11432  df-fz 12070  df-seq 12536
This theorem is referenced by:  aleph1irr  14687
  Copyright terms: Public domain W3C validator