MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephexp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephexp1 9257
Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephexp1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1
StepHypRef Expression
1 alephon 8752 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
2 onenon 8635 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
31, 2mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4 fvex 6098 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ V
5 simplr 787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6 alephgeom 8765 . . . . 5 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
75, 6sylib 206 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8 ssdomg 7864 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
94, 7, 8mpsyl 65 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10 fvex 6098 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ V
11 ordom 6943 . . . . . 6 Ord ω
12 2onn 7584 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
13 ordelss 5642 . . . . . 6 ((Ord ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ ω)
1411, 12, 13mp2an 703 . . . . 5 2𝑜 ⊆ ω
15 simpll 785 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16 alephgeom 8765 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1715, 16sylib 206 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1814, 17syl5ss 3578 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜 ⊆ (ℵ‘𝐴))
19 ssdomg 7864 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2𝑜 ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴)))
2010, 18, 19mpsyl 65 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴))
21 alephord3 8761 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22 ssdomg 7864 . . . . . . 7 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
234, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
2421, 23syl6bi 241 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
2524imp 443 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
264canth2 7975 . . . . 5 (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27 sdomdom 7846 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29 domtr 7872 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
3025, 28, 29sylancl 692 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31 mappwen 8795 . . 3 ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
323, 9, 20, 30, 31syl22anc 1318 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
334pw2en 7929 . . 3 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵))
34 enen2 7963 . . 3 (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵))))
3533, 34ax-mp 5 . 2 (((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))
3632, 35sylib 206 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  Ord word 5625  Oncon0 5626  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934  2𝑜c2o 7418  𝑚 cmap 7721  cen 7815  cdom 7816  csdm 7817  cardccrd 8621  cale 8622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-oi 8275  df-har 8323  df-card 8625  df-aleph 8626
This theorem is referenced by:  alephexp2  9259
  Copyright terms: Public domain W3C validator