MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephexp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephexp1 9613
Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephexp1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1
StepHypRef Expression
1 alephon 9102 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
2 onenon 8985 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
31, 2mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4 fvex 6363 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ V
5 simplr 809 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6 alephgeom 9115 . . . . 5 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
75, 6sylib 208 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8 ssdomg 8169 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
94, 7, 8mpsyl 68 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10 fvex 6363 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ V
11 ordom 7240 . . . . . 6 Ord ω
12 2onn 7891 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
13 ordelss 5900 . . . . . 6 ((Ord ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ ω)
1411, 12, 13mp2an 710 . . . . 5 2𝑜 ⊆ ω
15 simpll 807 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16 alephgeom 9115 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1715, 16sylib 208 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1814, 17syl5ss 3755 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜 ⊆ (ℵ‘𝐴))
19 ssdomg 8169 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2𝑜 ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴)))
2010, 18, 19mpsyl 68 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴))
21 alephord3 9111 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22 ssdomg 8169 . . . . . . 7 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
234, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
2421, 23syl6bi 243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
2524imp 444 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
264canth2 8280 . . . . 5 (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27 sdomdom 8151 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29 domtr 8176 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
3025, 28, 29sylancl 697 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31 mappwen 9145 . . 3 ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
323, 9, 20, 30, 31syl22anc 1478 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
334pw2en 8234 . . 3 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵))
34 enen2 8268 . . 3 (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵))))
3533, 34ax-mp 5 . 2 (((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))
3632, 35sylib 208 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  Ord word 5883  Oncon0 5884  cfv 6049  (class class class)co 6814  ωcom 7231  2𝑜c2o 7724  𝑚 cmap 8025  cen 8120  cdom 8121  csdm 8122  cardccrd 8971  cale 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-oi 8582  df-har 8630  df-card 8975  df-aleph 8976
This theorem is referenced by:  alephexp2  9615
  Copyright terms: Public domain W3C validator