MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephmul 9252
Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephmul ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul
StepHypRef Expression
1 alephgeom 8761 . . . 4 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2 fvex 6094 . . . . 5 (ℵ‘𝐴) ∈ V
3 ssdomg 7860 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
51, 4sylbi 205 . . 3 (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6 alephon 8748 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ On
7 onenon 8631 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
95, 8jctil 557 . 2 (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10 alephgeom 8761 . . . 4 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11 fvex 6094 . . . . . 6 (ℵ‘𝐵) ∈ V
12 ssdomg 7860 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14 infn0 8080 . . . . 5 (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1610, 15sylbi 205 . . 3 (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17 alephon 8748 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
18 onenon 8631 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
1917, 18ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
2016, 19jctil 557 . 2 (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21 infxp 8893 . 2 ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
229, 20, 21syl2an 492 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1975  wne 2775  Vcvv 3168  cun 3533  wss 3535  c0 3869   class class class wbr 4573   × cxp 5022  dom cdm 5024  Oncon0 5622  cfv 5786  ωcom 6930  cen 7811  cdom 7812  cardccrd 8617  cale 8618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-oi 8271  df-har 8319  df-card 8621  df-aleph 8622  df-cda 8846
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator