Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephmul 9612
 Description: The product of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephmul ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephmul
StepHypRef Expression
1 alephgeom 9115 . . . 4 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2 fvex 6363 . . . . 5 (ℵ‘𝐴) ∈ V
3 ssdomg 8169 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
51, 4sylbi 207 . . 3 (𝐴 ∈ On → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
6 alephon 9102 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ On
7 onenon 8985 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card
95, 8jctil 561 . 2 (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10 alephgeom 9115 . . . 4 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
11 fvex 6363 . . . . . 6 (ℵ‘𝐵) ∈ V
12 ssdomg 8169 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
14 infn0 8389 . . . . 5 (ω ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
1610, 15sylbi 207 . . 3 (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)
17 alephon 9102 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
18 onenon 8985 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
1917, 18ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
2016, 19jctil 561 . 2 (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅))
21 infxp 9249 . 2 ((((ℵ‘𝐴) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐴)) ∧ ((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ (ℵ‘𝐵) ≠ ∅)) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
229, 20, 21syl2an 495 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) × (ℵ‘𝐵)) ≈ ((ℵ‘𝐴) ∪ (ℵ‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804   × cxp 5264  dom cdm 5266  Oncon0 5884  ‘cfv 6049  ωcom 7231   ≈ cen 8120   ≼ cdom 8121  cardccrd 8971  ℵcale 8972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-oi 8582  df-har 8630  df-card 8975  df-aleph 8976  df-cda 9202 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator