Theorem alephord 9495

Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 9494	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2	1	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3		brsdom 8526	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
4		alephon 9489	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5		alephon 9489	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
6		domtriord 8657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴))
8		alephordi 9494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
9	8	con3d 155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10	7, 9	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
11	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ontri1 6219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
13	11, 12	sylibrd 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵))
14		fveq2 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
15		eqeng 8537	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
16	4, 14, 15	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
17	16	necon3bi 3042	. . . . 5 ⊢ (¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18	13, 17	anim12d1 611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
19		onelpss 6225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
20	18, 19	sylibrd 261	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	3, 20	syl5bi 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
22	2, 21	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  Oncon0 6185  ‘cfv 6349   ≈ cen 8500   ≼ cdom 8501   ≺ csdm 8502  ℵcale 9359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-oi 8968  df-har 9016  df-card 9362  df-aleph 9363

This theorem is referenced by:  alephord2  9496  alephdom  9501  alephval2  9988  alephiso2  39910