MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephprc 8783
Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephprc ¬ ran ℵ ∈ V

Proof of Theorem alephprc
StepHypRef Expression
1 cardprc 8667 . . . 4 {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∉ V
21neli 2885 . . 3 ¬ {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V
3 cardnum 8778 . . . 4 {𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} = (ω ∪ ran ℵ)
43eleq1i 2679 . . 3 ({𝑥 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥} ∈ V ↔ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
52, 4mtbi 311 . 2 ¬ (ω ∪ ran ℵ) ∈ V
6 omex 8401 . . 3 ω ∈ V
7 unexg 6835 . . 3 ((ω ∈ V ∧ ran ℵ ∈ V) → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
86, 7mpan 702 . 2 (ran ℵ ∈ V → (ω ∪ ran ℵ) ∈ V)
95, 8mto 187 1 ¬ ran ℵ ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  Vcvv 3173  cun 3538  ran crn 5029  cfv 5790  ωcom 6935  cardccrd 8622  cale 8623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-oi 8276  df-har 8324  df-card 8626  df-aleph 8627
This theorem is referenced by:  unialeph  8785
  Copyright terms: Public domain W3C validator