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Theorem alexsublem 21758
Description: Lemma for alexsub 21759. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
alexsub.1 (𝜑𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2 (𝜑𝑋 = 𝐵)
alexsub.3 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
alexsub.5 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
Assertion
Ref Expression
alexsublem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3565 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)))
2 alexsub.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
32eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
43anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦)))
54biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
65adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
7 tg2 20680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
9 alexsub.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10 ufilfil 21618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
1211ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13 alexsub.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 = 𝐵)
149elfvexd 6179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ V)
1513, 14eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 ∈ V)
16 uniexb 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1715, 16sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐵 ∈ V)
18 elfi2 8264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2111ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))
23 intss1 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝑦 𝑦𝑧)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑦𝑧)
25 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥 𝑦)
2624, 25sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥𝑧)
2726ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥𝑧)
28 eldifsn 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
2928simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3029ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31 elfpw 8212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ∈ Fin))
3231simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦𝐵)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐵)
3433sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
3534anasss 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐵)
3635anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
37 eldif 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵𝐹) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
39 elunii 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥𝑧𝑧 ∈ (𝐵𝐹)) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4027, 38, 39syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4140ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → (¬ 𝑧𝐹𝑥 (𝐵𝐹)))
4222, 41mt3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐹)
4342expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (𝑧𝑦𝑧𝐹))
4443ssrdv 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
4528simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
4645ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
4731simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49 elfir 8265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
5021, 44, 46, 48, 49syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51 filfi 21573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5221, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5350, 52eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
5453expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 𝑦 𝑦𝐹))
55 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥 𝑦))
56 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐹 𝑦𝐹))
5755, 56imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧𝑧𝐹) ↔ (𝑥 𝑦 𝑦𝐹)))
5854, 57syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
5958rexlimdva 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6020, 59sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6160imp32 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝐹)
6261adantrrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
6362adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
64 elssuni 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐽𝑦 𝐽)
6564ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
66 fibas 20692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67 tgtopon 20686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵))
692, 68syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
70 fiuni 8278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (fi‘𝐵))
7117, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 = (fi‘𝐵))
7213, 71eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 = (fi‘𝐵))
7372fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
7469, 73eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75 toponuni 20642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 = 𝐽)
7776ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑋 = 𝐽)
7865, 77sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝑋)
80 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
81 filss 21567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧𝐹𝑦𝑋𝑧𝑦)) → 𝑦𝐹)
8212, 63, 79, 80, 81syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝐹)
838, 82rexlimddv 3028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐹)
8483expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8584ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8685expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (¬ 𝑥 (𝐵𝐹) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹)))
8786imdistanda 728 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
881, 87syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
89 flimopn 21689 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9074, 11, 89syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9188, 90sylibrd 249 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
9291ssrdv 3589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93 alexsub.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94 sseq0 3947 . . . . . . 7 (((𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9592, 93, 94syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
96 ssdif0 3916 . . . . . 6 (𝑋 (𝐵𝐹) ↔ (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9795, 96sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝑋 (𝐵𝐹))
98 difss 3715 . . . . . . 7 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
9998unissi 4427 . . . . . 6 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
10099, 13syl5sseqr 3633 . . . . 5 (𝜑 (𝐵𝐹) ⊆ 𝑋)
10197, 100eqssd 3600 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝐵𝐹))
102101, 98jctil 559 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))
103 difexg 4768 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝐹) ∈ V)
10417, 103syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐹) ∈ V)
105104adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → (𝐵𝐹) ∈ V)
106 sseq1 3605 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵))
107 unieq 4410 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝑥 = (𝐵𝐹))
108107eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑋 = 𝑥𝑋 = (𝐵𝐹)))
109106, 108anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝑥𝐵𝑋 = 𝑥) ↔ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))))
110109anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))))
111 pweq 4133 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵𝐹))
112111ineq1d 3791 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin))
113112rexeqdv 3134 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
114110, 113imbi12d 334 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)))
115 alexsub.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
116114, 115vtoclg 3252 . . . 4 ((𝐵𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
117105, 116mpcom 38 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
118102, 117mpdan 701 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
119 unieq 4410 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
120 uni0 4431 . . . . . . 7 ∅ = ∅
121119, 120syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
122121neeq2d 2850 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → (𝑋 𝑦𝑋 ≠ ∅))
123 difssd 3716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
124123ralrimivw 2961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
125 riinn0 4561 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
126124, 125sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
12714ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
128 difexg 4768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑧) ∈ V)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋𝑧) ∈ V)
130129ralrimivw 2961 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V)
131 dfiin2g 4519 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
133 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧))
134133rnmpt 5331 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
135134inteqi 4444 . . . . . . . . . 10 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
136132, 135syl6eqr 2673 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
137126, 136eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
13811ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
139 elfpw 8212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
140139simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
141140ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
142141sselda 3583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
143142eldifbd 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 𝑧𝐹)
1449ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
145141difss2d 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝐵)
146145sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
147 elssuni 4433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐵𝑧 𝐵)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 𝐵)
14913ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑋 = 𝐵)
150148, 149sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑋)
151 ufilb 21620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
152144, 150, 151syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
153143, 152mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋𝑧) ∈ 𝐹)
154153, 133fmptd 6340 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)):𝑦𝐹)
155 frn 6010 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)):𝑦𝐹 → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹)
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹)
157133, 153dmmptd 5981 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
158 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
159157, 158eqnetrd 2857 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
160 dm0rn0 5302 . . . . . . . . . . 11 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅)
161160necon3bii 2842 . . . . . . . . . 10 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
162159, 161sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
163139simprbi 480 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
164163ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
165 abrexfi 8210 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)} ∈ Fin)
166134, 165syl5eqel 2702 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
167164, 166syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
168 filintn0 21575 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
169138, 156, 162, 167, 168syl13anc 1325 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
170137, 169eqnetrd 2857 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
171 disj3 3993 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
172171necon3bii 2842 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
173170, 172sylib 208 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
174 iundif2 4553 . . . . . . 7 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
175 dfss4 3836 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
176150, 175sylib 208 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
177176iuneq2dv 4508 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 𝑧)
178 uniiun 4539 . . . . . . . 8 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
179177, 178syl6eqr 2673 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
180174, 179syl5eqr 2669 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑦)
181173, 180neeqtrd 2859 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 𝑦)
18211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
183 filtop 21569 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
184 fileln0 21564 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
185183, 184mpdan 701 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
186182, 185syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
187122, 181, 186pm2.61ne 2875 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 𝑦)
188187neneqd 2795 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
189188nrexdv 2995 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
190118, 189pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402   cint 4440   ciun 4485   ciin 4486  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ficfi 8260  topGenctg 16019  TopOnctopon 20618  TopBasesctb 20620  Filcfil 21559  UFilcufil 21613  UFLcufl 21614   fLim cflim 21648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903  df-fi 8261  df-topgen 16025  df-fbas 19662  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-fil 21560  df-ufil 21615  df-flim 21653
This theorem is referenced by:  alexsub  21759
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