Theorem algcvgb 15924

Description: Two ways of expressing that 𝐶 is a countdown function for algorithm 𝐹. The first is used in these theorems. The second states the condition more intuitively as a conjunction: if the countdown function's value is currently nonzero, it must decrease at the next step; if it has reached zero, it must remain zero at the next step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvgb.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvgb.2	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0

Assertion

Ref	Expression
algcvgb	⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘𝑋)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) < (𝐶‘𝑋)) ↔ (((𝐶‘𝑋) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) < (𝐶‘𝑋)) ∧ ((𝐶‘𝑋) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) = 0))))

Proof of Theorem algcvgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvgb.2	. . 3 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
2	1	ffvelrni 6852	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝑋) ∈ ℕ0)
3		algcvgb.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
4	3	ffvelrni 6852	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑆)
5	1	ffvelrni 6852	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℕ0)
7		algcvgblem 15923	. 2 ⊢ (((𝐶‘𝑋) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℕ0) → (((𝐶‘(𝐹‘𝑋)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) < (𝐶‘𝑋)) ↔ (((𝐶‘𝑋) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) < (𝐶‘𝑋)) ∧ ((𝐶‘𝑋) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) = 0))))
8	2, 6, 7	syl2anc 586	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘𝑋)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) < (𝐶‘𝑋)) ↔ (((𝐶‘𝑋) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) < (𝐶‘𝑋)) ∧ ((𝐶‘𝑋) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑋)) = 0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  0cc0 10539   < clt 10677  ℕ₀cn0 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901

This theorem is referenced by:  algcvga  15925