MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvgblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algcvgblem 15209
Description: Lemma for algcvgb 15210. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
algcvgblem ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Proof of Theorem algcvgblem
StepHypRef Expression
1 imor 428 . . . . 5 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀))
2 0re 9985 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
3 nn0re 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 ltnle 10062 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
62, 4, 5sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
7 nn0le0eq0 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
87notbid 308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
98adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
106, 9bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
11 df-ne 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1210, 11syl6bbr 278 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
1312anbi2d 739 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0)))
14 nne 2800 . . . . . . . . . . 11 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
15 breq1 4621 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1614, 15sylbi 207 . . . . . . . . . 10 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1716biimpar 502 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
1813, 17syl6bir 244 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 < 𝑀))
1918expd 452 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
20 ax-1 6 . . . . . . 7 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
2119, 20jctir 560 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
22 jaob 821 . . . . . 6 (((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ↔ ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
2321, 22sylibr 224 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
241, 23syl5bi 232 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
25 nn0ge0 11263 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2625adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
27 nn0re 11246 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
28 lelttr 10073 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
292, 28mp3an1 1408 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
3027, 3, 29syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
3126, 30mpand 710 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
3231, 12sylibd 229 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
3332imim2d 57 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
3424, 33jcad 555 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
35 pm3.34 609 . . 3 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
3634, 35impbid1 215 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
37 con34b 306 . . . 4 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
38 df-ne 2797 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
3938, 11imbi12i 340 . . . 4 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
4037, 39bitr4i 267 . . 3 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))
4140anbi2i 729 . 2 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
4236, 41syl6bbr 278 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cr 9880  0cc0 9881   < clt 10019  cle 10020  0cn0 11237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238
This theorem is referenced by:  algcvgb  15210
  Copyright terms: Public domain W3C validator