Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbc 41415
 Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive 𝑁 with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for 𝑁 = 0 (since ((-1↑0) · (0C0)) = (1 · 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 41414) instead of the binomial theorem (binom 14487) , see altgsumbcALT 41416. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbc (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbc
StepHypRef Expression
1 1cnd 10000 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2 negid 10272 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (1 + -1) = 0)
32eqcomd 2627 . . . 4 (1 ∈ ℂ → 0 = (1 + -1))
41, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (1 + -1))
54oveq1d 6619 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = ((1 + -1)↑𝑁))
6 0exp 12835 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
71negcld 10323 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
8 nnnn0 11243 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 binom 14487 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1323 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
11 nnz 11343 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12 elfzelz 12284 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 zsubcl 11363 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
1411, 12, 13syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
15 1exp 12829 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1716oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (1 · (-1↑𝑘)))
18 neg1cn 11068 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
20 elfznn0 12374 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 expcl 12818 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2219, 20, 21syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2322mulid2d 10002 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2417, 23eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2524oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)))
26 bccl 13049 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
278, 12, 26syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11297 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
2928, 22mulcomd 10005 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3025, 29eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3130sumeq2dv 14367 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3210, 31eqtrd 2655 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
335, 6, 323eqtr3rd 2664 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210  -cneg 10211  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ...cfz 12268  ↑cexp 12800  Ccbc 13029  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator