Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm3d 37348
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm3d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 12593 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4 3nn 11036 . . . . 5 3 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12333 . . . . 5 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 219 . . . 4 0 ∈ (0..^3)
7 ne0i 3879 . . . 4 (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9 amgm3d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm3d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm3d.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
129, 10, 11s3cld 13416 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13 wrdf 13114 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14 s3len 13438 . . . . . . . . 9 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15 df-3 10930 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
1614, 15eqtri 2631 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
1716oveq2i 6538 . . . . . . 7 (0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
1817feq2i 5936 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
1913, 18sylib 206 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2015oveq2i 6538 . . . . . 6 (0..^3) = (0..^(2 + 1))
2120feq2i 5936 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2219, 21sylibr 222 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
2312, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
241, 3, 8, 23amgmlem 24461 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (#‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (#‘(0..^3))))
25 cnring 19536 . . . . 5 fld ∈ Ring
261ringmgp 18325 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
289rpcnd 11709 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2910rpcnd 11709 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3011rpcnd 11709 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3128, 29, 30jca32 555 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32 cnfldbas 19520 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
331, 32mgpbas 18267 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34 cnfldmul 19522 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
351, 34mgpplusg 18265 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3633, 35gsumws3 37345 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
3727, 31, 36syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38 3nn0 11160 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
39 hashfzo0 13032 . . . . 5 (3 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^3)) = 3)
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (#‘(0..^3)) = 3)
4140oveq2d 6543 . . 3 (𝜑 → (1 / (#‘(0..^3))) = (1 / 3))
4237, 41oveq12d 6545 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (#‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43 ringmnd 18328 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4425, 43mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45 cnfldadd 19521 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4632, 45gsumws3 37345 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4744, 31, 46syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4847, 40oveq12d 6545 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (#‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
4924, 42, 483brtr3d 4608 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  c0 3873   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  cle 9932   / cdiv 10536  cn 10870  2c2 10920  3c3 10921  0cn0 11142  +crp 11667  ..^cfzo 12292  #chash 12937  Word cword 13095  ⟨“cs3 13387   Σg cgsu 15873  Mndcmnd 17066  mulGrpcmgp 18261  Ringcrg 18319  fldccnfld 19516  𝑐ccxp 24051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-ghm 17430  df-gim 17473  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-refld 19718  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-cmp 20948  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-cxp 24053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator