MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlem 24433
Description: Lemma for amgm 24434. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm.1 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgm.3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgm.4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlem (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfld0 19535 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 19533 . . . . . . . . 9 fld ∈ Ring
3 ringabl 18349 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5 amgm.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 resubdrg 19718 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
76simpli 472 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8 subrgsubg 18555 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
97, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10 amgm.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
1110ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1211relogcld 24090 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1312renegcld 10308 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
14 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))
1513, 14fmptd 6277 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))):𝐴⟶ℝ)
16 c0ex 9890 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ V)
1815, 5, 17fdmfifsupp 8145 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) finSupp 0)
191, 4, 5, 9, 15, 18gsumsubgcl 18089 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
2019recnd 9924 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℂ)
21 amgm.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
22 hashnncl 12970 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2421, 23mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
2524nncnd 10883 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
2624nnne0d 10912 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ≠ 0)
2720, 25, 26divnegd 10663 . . . . 5 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
2812recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
295, 28gsumfsum 19578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
3028negnegd 10234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → --(log‘(𝐹𝑘)) = (log‘(𝐹𝑘)))
3130sumeq2dv 14227 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
3213recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
335, 32fsumneg 14307 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3429, 31, 333eqtr2rd 2650 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
355, 32gsumfsum 19578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3635negeqd 10126 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3710feqmptd 6144 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
38 relogf1o 24034 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
39 f1of 6035 . . . . . . . . . . . . 13 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4140feqmptd 6144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
42 fvres 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
4342mpteq2ia 4662 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
4441, 43syl6eq 2659 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
45 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹𝑘)))
4611, 37, 44, 45fmptco 6288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘))))
4746oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
4834, 36, 473eqtr4d 2653 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
49 amgm.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
5049oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5150rpmsubg 19575 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
52 subgsubm 17385 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
54 cnfldbas 19517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ = (Base‘ℂfld)
55 cndrng 19540 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld ∈ DivRing
5654, 1, 55drngui 18522 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
5756, 49unitsubm 18439 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
58 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5958subsubm 17126 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
602, 57, 59mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
6153, 60mpbi 218 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
6261simpli 472 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
63 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (𝑀s+) = (𝑀s+)
6463submbas 17124 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
6562, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 + = (Base‘(𝑀s+))
66 cnfld1 19536 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℂfld)
6749, 66ringidval 18272 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝑀)
6863, 67subm0 17125 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀s+)))
6962, 68ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 = (0g‘(𝑀s+))
70 cncrng 19532 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CRing
7149crngmgp 18324 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
7363submmnd 17123 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7462, 73mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7563subcmn 18011 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
7672, 74, 75syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
77 df-refld 19715 . . . . . . . . . . . 12 fld = (ℂflds ℝ)
7877subrgring 18552 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
797, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
80 ringmnd 18325 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
8179, 80mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
8249oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8382reloggim 24066 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld)
84 gimghm 17475 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld)
86 ghmmhm 17439 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
88 1ex 9891 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ V)
9010, 5, 89fdmfifsupp 8145 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 finSupp 1)
9165, 69, 76, 81, 5, 87, 10, 90gsummhm 18107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
92 subgsubm 17385 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
939, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
94 fco 5957 . . . . . . . . . 10 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9540, 10, 94syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
965, 93, 95, 77gsumsubm 17142 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
9762a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
985, 97, 10, 63gsumsubm 17142 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
9998fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
10091, 96, 993eqtr4d 2653 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10167, 72, 5, 97, 10, 90gsumsubmcl 18088 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
102 fvres 6102 . . . . . . . 8 ((𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10448, 100, 1033eqtrd 2647 . . . . . 6 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
105104oveq1d 6542 . . . . 5 (𝜑 → (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (#‘𝐴)))
106101relogcld 24090 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
107106recnd 9924 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
108107, 25, 26divrec2d 10654 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
10927, 105, 1083eqtrd 2647 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
11037oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
11111rpcnd 11706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1125, 111gsumfsum 19578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
113110, 112eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
1145, 21, 11fsumrpcl 14261 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
115113, 114eqeltrd 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
11624nnrpd 11702 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ+)
117115, 116rpdivcld 11721 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
118117relogcld 24090 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ ℝ)
11919, 24nndivred 10916 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
120 rpssre 11675 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
121120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
122 relogcl 24043 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
123122adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
124123renegcld 10308 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
125 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
126124, 125fmptd 6277 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
127 ioorp 12078 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
128127eleq2i 2679 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
129127eleq2i 2679 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
130 iccssioo2 12073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
131128, 129, 130syl2anbr 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
132131, 127syl6sseq 3613 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
133132adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
13424nnrecred 10913 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
135116rpreccld 11714 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
136135rpge0d 11708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (#‘𝐴)))
137 elrege0 12105 . . . . . . . . . 10 ((1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (#‘𝐴))))
138134, 136, 137sylanbrc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
139 fconst6g 5992 . . . . . . . . 9 ((1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
140138, 139syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
141 0lt1 10399 . . . . . . . . 9 0 < 1
142 fconstmpt 5075 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
143142oveq2i 6538 . . . . . . . . . 10 (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
144 ringmnd 18325 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1452, 144mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
146134recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
147 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
14854, 147gsumconst 18103 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))))
149145, 5, 146, 148syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))))
15024nnzd 11313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
151 cnfldmulg 19543 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
152150, 146, 151syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
15325, 26recidd 10645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))) = 1)
154149, 152, 1533eqtrd 2647 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = 1)
155143, 154syl5eq 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = 1)
156141, 155syl5breqr 4615 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))
157 logccv 24126 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
1581573adant1 1071 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
159 ioossre 12062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ ℝ
160 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
161159, 160sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
162 simp21 1086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
163162relogcld 24090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
164161, 163remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
165 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
166 resubcl 10196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
167165, 161, 166sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
168 simp22 1087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
169168relogcld 24090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
170167, 169remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
171164, 170readdcld 9925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
172 simp1 1053 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
173 ioossicc 12086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
174173, 160sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
175121, 133cvxcl 24428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
176172, 162, 168, 174, 175syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
177176relogcld 24090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
178171, 177ltnegd 10454 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
179158, 178mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
180 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
181180negeqd 10126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182 negex 10130 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
183181, 125, 182fvmpt 6176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
184176, 183syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
185 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
186185negeqd 10126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
187 negex 10130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑥) ∈ V
188186, 125, 187fvmpt 6176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
189162, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
190189oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
191161recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
192163recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
193191, 192mulneg2d 10334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
194190, 193eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
195 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
196195negeqd 10126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
197 negex 10130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑦) ∈ V
198196, 125, 197fvmpt 6176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
199168, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
200199oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
201167recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
202169recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
203201, 202mulneg2d 10334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
204200, 203eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
205194, 204oveq12d 6545 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
206164recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
207170recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
208206, 207negdid 10256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
209205, 208eqtr4d 2646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
210179, 184, 2093brtr4d 4609 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
211121, 126, 133, 210scvxcvx 24429 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
212121, 126, 133, 5, 140, 10, 156, 211jensen 24432 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))))
213212simprd 477 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
214134adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
215142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
2165, 214, 11, 215, 37offval2 6789 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹𝑘))))
217216oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))))
218 cnfldadd 19518 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
219 cnfldmul 19519 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℂfld)
2202a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
221 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
222111, 221fmptd 6277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)):𝐴⟶ℂ)
223222, 5, 17fdmfifsupp 8145 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) finSupp 0)
22454, 1, 218, 219, 220, 5, 146, 111, 223gsummulc2 18376 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
225 fss 5955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22610, 120, 225sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
22710, 5, 17fdmfifsupp 8145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 finSupp 0)
2281, 4, 5, 9, 226, 227gsumsubgcl 18089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
229228recnd 9924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
230229, 25, 26divrec2d 10654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
231110oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
232230, 231eqtr2d 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
233217, 224, 2323eqtrd 2647 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
234233, 155oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) / 1))
235228, 24nndivred 10916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
236235recnd 9924 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
237236div1d 10642 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
238234, 237eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
239238fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
240 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
241240negeqd 10126 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
242 negex 10130 . . . . . . . . 9 -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ V
243241, 125, 242fvmpt 6176 . . . . . . . 8 (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
244117, 243syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
245239, 244eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
24654, 1, 218, 219, 220, 5, 146, 32, 18gsummulc2 18376 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
247 negex 10130 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V
248247a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
249 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
250 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹𝑘)))
251250negeqd 10126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹𝑘)))
25211, 37, 249, 251fmptco 6288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
2535, 214, 248, 215, 252offval2 6789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘)))))
254253oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))))
25520, 25, 26divrec2d 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
256246, 254, 2553eqtr4d 2653 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
257256, 155oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) / 1))
258119recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
259258div1d 10642 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
260257, 259eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
261213, 245, 2603brtr3d 4608 . . . . 5 (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
262118, 119, 261lenegcon1d 10458 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
263109, 262eqbrtrrd 4601 . . 3 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
264134, 106remulcld 9926 . . . 4 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
265 efle 14633 . . . 4 ((((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))))
266264, 118, 265syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))))
267263, 266mpbid 220 . 2 (𝜑 → (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))))
268101rpcnd 11706 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
269101rpne0d 11709 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
270268, 269, 146cxpefd 24175 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
271117reeflogd 24091 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
272271eqcomd 2615 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))))
273267, 270, 2723brtr4d 4609 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  cres 5030  ccom 5032  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  cz 11210  +crp 11664  (,)cioo 12002  [,)cico 12004  [,]cicc 12005  #chash 12934  Σcsu 14210  expce 14577  Basecbs 15641  s cress 15642  0gc0g 15869   Σg cgsu 15870  Mndcmnd 17063   MndHom cmhm 17102  SubMndcsubmnd 17103  .gcmg 17309  SubGrpcsubg 17357   GrpHom cghm 17426   GrpIso cgim 17468  CMndccmn 17962  Abelcabl 17963  mulGrpcmgp 18258  Ringcrg 18316  CRingccrg 18317  DivRingcdr 18516  SubRingcsubrg 18545  fldccnfld 19513  fldcrefld 19714  logclog 24022  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-gim 17470  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-refld 19715  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  amgm  24434  amgm2d  37319  amgm3d  37320  amgm4d  37321
  Copyright terms: Public domain W3C validator