MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlem 24761
Description: Lemma for amgm 24762. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm.1 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgm.3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgm.4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlem (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfld0 19818 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 19816 . . . . . . . . 9 fld ∈ Ring
3 ringabl 18626 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5 amgm.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 resubdrg 20002 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
76simpli 473 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8 subrgsubg 18834 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
97, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10 amgm.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
1110ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1211relogcld 24414 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1312renegcld 10495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
14 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))
1513, 14fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))):𝐴⟶ℝ)
16 c0ex 10072 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ V)
1815, 5, 17fdmfifsupp 8326 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) finSupp 0)
191, 4, 5, 9, 15, 18gsumsubgcl 18366 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
2019recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℂ)
21 amgm.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
22 hashnncl 13195 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2421, 23mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
2524nncnd 11074 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
2624nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ≠ 0)
2720, 25, 26divnegd 10852 . . . . 5 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
2812recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
295, 28gsumfsum 19861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
3028negnegd 10421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → --(log‘(𝐹𝑘)) = (log‘(𝐹𝑘)))
3130sumeq2dv 14477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
3213recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
335, 32fsumneg 14563 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3429, 31, 333eqtr2rd 2692 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
355, 32gsumfsum 19861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3635negeqd 10313 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3710feqmptd 6288 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
38 relogf1o 24358 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
39 f1of 6175 . . . . . . . . . . . . 13 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4140feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
42 fvres 6245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
4342mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
4441, 43syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
45 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹𝑘)))
4611, 37, 44, 45fmptco 6436 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘))))
4746oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
4834, 36, 473eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
49 amgm.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
5049oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5150rpmsubg 19858 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
52 subgsubm 17663 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
54 cnfldbas 19798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ = (Base‘ℂfld)
55 cndrng 19823 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld ∈ DivRing
5654, 1, 55drngui 18801 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
5756, 49unitsubm 18716 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
58 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5958subsubm 17404 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
602, 57, 59mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
6153, 60mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
6261simpli 473 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
63 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑀s+) = (𝑀s+)
6463submbas 17402 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
6562, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 + = (Base‘(𝑀s+))
66 cnfld1 19819 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℂfld)
6749, 66ringidval 18549 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝑀)
6863, 67subm0 17403 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀s+)))
6962, 68ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 = (0g‘(𝑀s+))
70 cncrng 19815 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CRing
7149crngmgp 18601 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
7363submmnd 17401 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7462, 73mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7563subcmn 18288 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
7672, 74, 75syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
77 df-refld 19999 . . . . . . . . . . . 12 fld = (ℂflds ℝ)
7877subrgring 18831 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
797, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
80 ringmnd 18602 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
8179, 80mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
8249oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8382reloggim 24390 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld)
84 gimghm 17753 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld)
86 ghmmhm 17717 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
88 1ex 10073 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ V)
9010, 5, 89fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 finSupp 1)
9165, 69, 76, 81, 5, 87, 10, 90gsummhm 18384 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
92 subgsubm 17663 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
939, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
94 fco 6096 . . . . . . . . . 10 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9540, 10, 94syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
965, 93, 95, 77gsumsubm 17420 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
9762a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
985, 97, 10, 63gsumsubm 17420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
9998fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
10091, 96, 993eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10167, 72, 5, 97, 10, 90gsumsubmcl 18365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
102 fvres 6245 . . . . . . . 8 ((𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10448, 100, 1033eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
105104oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (#‘𝐴)))
106101relogcld 24414 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
107106recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
108107, 25, 26divrec2d 10843 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
10927, 105, 1083eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
11037oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
11111rpcnd 11912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1125, 111gsumfsum 19861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
113110, 112eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
1145, 21, 11fsumrpcl 14512 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
115113, 114eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
11624nnrpd 11908 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ+)
117115, 116rpdivcld 11927 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
118117relogcld 24414 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ ℝ)
11919, 24nndivred 11107 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
120 rpssre 11881 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
121120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
122 relogcl 24367 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
124123renegcld 10495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
125 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
126124, 125fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
127 ioorp 12289 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
128127eleq2i 2722 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
129127eleq2i 2722 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
130 iccssioo2 12284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
131128, 129, 130syl2anbr 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
132131, 127syl6sseq 3684 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
133132adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
13424nnrecred 11104 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
135116rpreccld 11920 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
136135rpge0d 11914 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (#‘𝐴)))
137 elrege0 12316 . . . . . . . . . 10 ((1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (#‘𝐴))))
138134, 136, 137sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
139 fconst6g 6132 . . . . . . . . 9 ((1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
140138, 139syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
141 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
142 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
143142oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
144 ringmnd 18602 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1452, 144mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
146134recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
147 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
14854, 147gsumconst 18380 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))))
149145, 5, 146, 148syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))))
15024nnzd 11519 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
151 cnfldmulg 19826 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
152150, 146, 151syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
15325, 26recidd 10834 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))) = 1)
154149, 152, 1533eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = 1)
155143, 154syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = 1)
156141, 155syl5breqr 4723 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))
157 logccv 24454 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
1581573adant1 1099 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
159 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ ℝ
160 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
161159, 160sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
162 simp21 1114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
163162relogcld 24414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
164161, 163remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
165 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
166 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
167165, 161, 166sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
168 simp22 1115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
169168relogcld 24414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
170167, 169remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
171164, 170readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
172 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
173 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
174173, 160sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
175121, 133cvxcl 24756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
176172, 162, 168, 174, 175syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
177176relogcld 24414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
178171, 177ltnegd 10643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
179158, 178mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
180 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
181180negeqd 10313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182 negex 10317 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
183181, 125, 182fvmpt 6321 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
184176, 183syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
185 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
186185negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
187 negex 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑥) ∈ V
188186, 125, 187fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
189162, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
190189oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
191161recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
192163recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
193191, 192mulneg2d 10522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
194190, 193eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
195 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
196195negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
197 negex 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑦) ∈ V
198196, 125, 197fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
199168, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
200199oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
201167recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
202169recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
203201, 202mulneg2d 10522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
204200, 203eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
205194, 204oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
206164recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
207170recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
208206, 207negdid 10443 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
209205, 208eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
210179, 184, 2093brtr4d 4717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
211121, 126, 133, 210scvxcvx 24757 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
212121, 126, 133, 5, 140, 10, 156, 211jensen 24760 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))))
213212simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
214134adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
215142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
2165, 214, 11, 215, 37offval2 6956 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹𝑘))))
217216oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))))
218 cnfldadd 19799 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
219 cnfldmul 19800 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℂfld)
2202a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
221 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
222111, 221fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)):𝐴⟶ℂ)
223222, 5, 17fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) finSupp 0)
22454, 1, 218, 219, 220, 5, 146, 111, 223gsummulc2 18653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
225 fss 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22610, 120, 225sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
22710, 5, 17fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 finSupp 0)
2281, 4, 5, 9, 226, 227gsumsubgcl 18366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
229228recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
230229, 25, 26divrec2d 10843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
231110oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
232230, 231eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
233217, 224, 2323eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
234233, 155oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) / 1))
235228, 24nndivred 11107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
236235recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
237236div1d 10831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
238234, 237eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
239238fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
240 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
241240negeqd 10313 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
242 negex 10317 . . . . . . . . 9 -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ V
243241, 125, 242fvmpt 6321 . . . . . . . 8 (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
244117, 243syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
245239, 244eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
24654, 1, 218, 219, 220, 5, 146, 32, 18gsummulc2 18653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
247 negex 10317 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V
248247a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
249 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
250 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹𝑘)))
251250negeqd 10313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹𝑘)))
25211, 37, 249, 251fmptco 6436 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
2535, 214, 248, 215, 252offval2 6956 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘)))))
254253oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))))
25520, 25, 26divrec2d 10843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
256246, 254, 2553eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
257256, 155oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) / 1))
258119recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
259258div1d 10831 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
260257, 259eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
261213, 245, 2603brtr3d 4716 . . . . 5 (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)))
262118, 119, 261lenegcon1d 10647 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (#‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
263109, 262eqbrtrrd 4709 . . 3 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
264134, 106remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
265 efle 14892 . . . 4 ((((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))))
266264, 118, 265syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))))
267263, 266mpbid 222 . 2 (𝜑 → (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))))
268101rpcnd 11912 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
269101rpne0d 11915 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
270268, 269, 146cxpefd 24503 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
271117reeflogd 24415 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
272271eqcomd 2657 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))))
273267, 270, 2723brtr4d 4717 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  cz 11415  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  #chash 13157  Σcsu 14460  expce 14836  Basecbs 15904  s cress 15905  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380  SubMndcsubmnd 17381  .gcmg 17587  SubGrpcsubg 17635   GrpHom cghm 17704   GrpIso cgim 17746  CMndccmn 18239  Abelcabl 18240  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  DivRingcdr 18795  SubRingcsubrg 18824  fldccnfld 19794  fldcrefld 19998  logclog 24346  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  amgm  24762  amgm2d  38818  amgm3d  38819  amgm4d  38820
  Copyright terms: Public domain W3C validator