Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmw2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmw2d 44833
Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 40429). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmw2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmw2d (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 13330 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 11698 . . . . 5 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13065 . . . . 5 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 232 . . . 4 0 ∈ (0..^2)
7 ne0i 4297 . . . 4 (0 ∈ (0..^2) → (0..^2) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgmw2d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgmw2d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14221 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 13854 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
14 s2len 14239 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1514oveq2i 7156 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0..^2)
1615feq2i 6499 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1713, 16sylib 219 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18 amgmw2d.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
19 amgmw2d.3 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
2018, 19s2cld 14221 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+)
21 wrdf 13854 . . . . 5 (⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
23 s2len 14239 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩) = 2
2423oveq2i 7156 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (0..^2)
2524feq2i 6499 . . . 4 (⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
2622, 25sylib 219 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
27 cnring 20495 . . . . . 6 fld ∈ Ring
28 ringmnd 19235 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
3018rpcnd 12421 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3119rpcnd 12421 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
32 cnfldbas 20477 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
33 cnfldadd 20478 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
3432, 33gsumws2 17995 . . . . 5 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
3529, 30, 31, 34syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
36 amgmw2d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
3735, 36eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = 1)
381, 3, 8, 17, 26, 37amgmwlem 44831 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) ≤ (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)))
399, 10jca 512 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
4018, 19jca 512 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+))
41 ofs2 14319 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4342oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩))
441ringmgp 19232 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4527, 44mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4618rpred 12419 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
479, 46rpcxpcld 25242 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 12421 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
4919rpred 12419 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
5010, 49rpcxpcld 25242 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
5150rpcnd 12421 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
521, 32mgpbas 19174 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
53 cnfldmul 20479 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
541, 53mgpplusg 19172 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5552, 54gsumws2 17995 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5645, 48, 51, 55syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5743, 56eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
58 ofs2 14319 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
5939, 40, 58syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
6059oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩))
619, 18rpmulcld 12435 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℝ+)
6261rpcnd 12421 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ)
6310, 19rpmulcld 12435 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 12421 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
6532, 33gsumws2 17995 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6629, 62, 64, 65syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6760, 66eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6838, 57, 673brtr3d 5088 1 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  c0 4288   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Fincfn 8497  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  +crp 12377  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  ⟨“cs2 14191   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  fldccnfld 20473  𝑐ccxp 25066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068
This theorem is referenced by:  young2d  44834
  Copyright terms: Public domain W3C validator