Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmw2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmw2d 41879
Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 38018). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmw2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmw2d (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 12721 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 11137 . . . . 5 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12456 . . . . 5 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 221 . . . 4 0 ∈ (0..^2)
7 ne0i 3902 . . . 4 (0 ∈ (0..^2) → (0..^2) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgmw2d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgmw2d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 13560 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 13257 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
14 s2len 13578 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1514oveq2i 6621 . . . . 5 (0..^(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0..^2)
1615feq2i 5999 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1713, 16sylib 208 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18 amgmw2d.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
19 amgmw2d.3 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
2018, 19s2cld 13560 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+)
21 wrdf 13257 . . . . 5 (⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(#‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(#‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
23 s2len 13578 . . . . . 6 (#‘⟨“𝑃𝑄”⟩) = 2
2423oveq2i 6621 . . . . 5 (0..^(#‘⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (0..^2)
2524feq2i 5999 . . . 4 (⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(#‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
2622, 25sylib 208 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
27 cnring 19700 . . . . . 6 fld ∈ Ring
28 ringmnd 18488 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
3018rpcnd 11826 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3119rpcnd 11826 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
32 cnfldbas 19682 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
33 cnfldadd 19683 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
3432, 33gsumws2 17311 . . . . 5 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
3529, 30, 31, 34syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
36 amgmw2d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
3735, 36eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = 1)
381, 3, 8, 17, 26, 37amgmwlem 41877 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) ≤ (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩)))
399, 10jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
4018, 19jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+))
41 ofs2 13652 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4239, 40, 41syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4342oveq2d 6626 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩))
441ringmgp 18485 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4527, 44mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4618rpred 11824 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
479, 46rpcxpcld 24393 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 11826 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
4919rpred 11824 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
5010, 49rpcxpcld 24393 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
5150rpcnd 11826 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
521, 32mgpbas 18427 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
53 cnfldmul 19684 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
541, 53mgpplusg 18425 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5552, 54gsumws2 17311 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5645, 48, 51, 55syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5743, 56eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
58 ofs2 13652 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
5939, 40, 58syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
6059oveq2d 6626 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩))
619, 18rpmulcld 11840 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℝ+)
6261rpcnd 11826 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ)
6310, 19rpmulcld 11840 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 11826 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
6532, 33gsumws2 17311 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6629, 62, 64, 65syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6760, 66eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6838, 57, 673brtr3d 4649 1 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3896   class class class wbr 4618  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  Fincfn 7907  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  cle 10027  cn 10972  2c2 11022  +crp 11784  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238  ⟨“cs2 13531   Σg cgsu 16033  Mndcmnd 17226  mulGrpcmgp 18421  Ringcrg 18479  fldccnfld 19678  𝑐ccxp 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-gim 17633  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-drng 18681  df-subrg 18710  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-refld 19883  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-cmp 21113  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225
This theorem is referenced by:  young2d  41880
  Copyright terms: Public domain W3C validator