MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180 25319
Description: The sum of angles 𝑚𝐴𝐵𝐶 + 𝑚𝐵𝐶𝐴 + 𝑚𝐶𝐴𝐵 in a triangle adds up to either π or , i.e. 180 degrees. (The sign is due to the two possible orientations of vertex arrangement and our signed notion of angle). This is Metamath 100 proof #27. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ang.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
ang180 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180
StepHypRef Expression
1 simpl3 1185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2 simpl2 1184 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10985 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
4 simpr2 1187 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐵𝐶)
54necomd 3068 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐶𝐵)
61, 2, 5subne0d 10994 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐵) ≠ 0)
7 simpl1 1183 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
87, 2subcld 10985 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 simpr1 1186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐴𝐵)
107, 2, 9subne0d 10994 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
11 ang.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
1211angneg 25308 . . . . . 6 ((((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ≠ 0)) → (-(𝐶𝐵)𝐹-(𝐴𝐵)) = ((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)))
133, 6, 8, 10, 12syl22anc 834 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐶𝐵)𝐹-(𝐴𝐵)) = ((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)))
141, 2negsubdi2d 11001 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐶𝐵) = (𝐵𝐶))
152, 1, 7nnncan2d 11020 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴)) = (𝐵𝐶))
1614, 15eqtr4d 2856 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐶𝐵) = ((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴)))
177, 2negsubdi2d 11001 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
1816, 17oveq12d 7163 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐶𝐵)𝐹-(𝐴𝐵)) = (((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)))
1913, 18eqtr3d 2855 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) = (((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)))
207, 1subcld 10985 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
21 simpr3 1188 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐴𝐶)
227, 1, 21subne0d 10994 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
232, 1subcld 10985 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
242, 1, 4subne0d 10994 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
2511angneg 25308 . . . . . 6 ((((𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ≠ 0) ∧ ((𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0)) → (-(𝐴𝐶)𝐹-(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶)))
2620, 22, 23, 24, 25syl22anc 834 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐴𝐶)𝐹-(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶)))
277, 1negsubdi2d 11001 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐴𝐶) = (𝐶𝐴))
282, 1negsubdi2d 11001 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐵𝐶) = (𝐶𝐵))
291, 2, 7nnncan2d 11020 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐵))
3028, 29eqtr4d 2856 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐵𝐶) = ((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))
3127, 30oveq12d 7163 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐴𝐶)𝐹-(𝐵𝐶)) = ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴))))
3226, 31eqtr3d 2855 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶)) = ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴))))
3319, 32oveq12d 7163 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) = ((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))))
3433oveq1d 7160 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) = (((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))))
352, 7subcld 10985 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
369necomd 3068 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐵𝐴)
372, 7, 36subne0d 10994 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐴) ≠ 0)
381, 7subcld 10985 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
3921necomd 3068 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐶𝐴)
401, 7, 39subne0d 10994 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
412, 1, 7, 4subneintr2d 11031 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐴) ≠ (𝐶𝐴))
4211ang180lem5 25318 . . 3 ((((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ≠ 0) ∧ ((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵𝐴) ≠ (𝐶𝐴)) → (((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
4335, 37, 38, 40, 41, 42syl221anc 1373 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
4434, 43eqeltrd 2910 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  {csn 4557  {cpr 4559  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cim 14445  πcpi 15408  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator