MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpieqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpieqvd 24458
Description: The angle ABC is π iff B is a nontrivial convex combination of A and C, i.e., iff B is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvd.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
angpieqvd.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvd.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvd.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvd.AneB (𝜑𝐴𝐵)
angpieqvd.BneC (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
angpieqvd (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑤,𝐹   𝜑,𝑤   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem angpieqvd
StepHypRef Expression
1 angpieqvd.angdef . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2 angpieqvd.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 angpieqvd.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 angpieqvd.C . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 angpieqvd.AneB . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 angpieqvd.BneC . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6angpieqvdlem2 24456 . . . . . 6 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
87biimpar 502 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
92adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ)
103adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ)
114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ)
125adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴𝐵)
131, 2, 3, 4, 5, 6angpined 24457 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → 𝐴𝐶))
1413imp 445 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴𝐶)
159, 10, 11, 12, 14angpieqvdlem 24455 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
168, 15mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1))
174, 3subcld 10336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
194, 2subcld 10336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
2114necomd 2845 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐶𝐴)
2211, 9, 21subne0d 10345 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
2318, 20, 22divcan1d 10746 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)) = (𝐶𝐵))
2423eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐵) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)))
2518, 20, 22divcld 10745 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
269, 10, 11, 25affineequiv 24453 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴))))
2724, 26mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)))
28 oveq1 6611 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴))
29 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))))
3029oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))
3128, 30oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)))
3231eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))))
3332rspcev 3295 . . . 4 ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
3416, 27, 33syl2anc 692 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
3534ex 450 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
362adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
373adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
384adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
40 elioore 12147 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
41 recn 9970 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
4239, 40, 413syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
4336, 37, 38, 42affineequiv 24453 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))))
44 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴)))
45173ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
46423adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ)
47193ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
486necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝐵)
494, 3, 48subne0d 10345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
50493ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) ≠ 0)
5144, 50eqnetrrd 2858 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝑤 · (𝐶𝐴)) ≠ 0)
5246, 47, 51mulne0bbd 10627 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
5345, 46, 47, 52divmul3d 10779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))))
5444, 53mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = 𝑤)
55 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
5654, 55eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1))
5723ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5833ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5943ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6053ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴𝐵)
6159, 57, 52subne0ad 10347 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐶𝐴)
6261necomd 2845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴𝐶)
6357, 58, 59, 60, 62angpieqvdlem 24455 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
6456, 63mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
6563ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐵𝐶)
661, 57, 58, 59, 60, 65angpieqvdlem2 24456 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
6764, 66mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π)
68673expia 1264 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
6943, 68sylbid 230 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
7069rexlimdva 3024 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
7135, 70impbid 202 1 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cdif 3552  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  +crp 11776  (,)cioo 12117  cim 13772  πcpi 14722  logclog 24205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207
This theorem is referenced by:  chordthm  24464  chordthmALT  38652
  Copyright terms: Public domain W3C validator