Theorem arch 6028

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (A ∈ ℝ → ∃n ∈ ℕ A < n)

Distinct variable group:   A,n

Proof of Theorem arch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2618	. . 3 ⊢ (y = A → (y < n ↔ A < n))
2	1	rexbidv 1662	. 2 ⊢ (y = A → (∃n ∈ ℕ y < n ↔ ∃n ∈ ℕ A < n))
3		nnunb 6027	. . . 4 ⊢ ¬ ∃y ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y)
4		ralnex 1651	. . . 4 ⊢ (∀y ∈ ℝ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y) ↔ ¬ ∃y ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y))
5	3, 4	mpbir 190	. . 3 ⊢ ∀y ∈ ℝ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y)
6		axlttri 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℝ) → (y < n ↔ ¬ (y = n ⋁ n < y)))
7		nnret 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ ℕ → n ∈ ℝ)
8	6, 7	sylan2 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℕ) → (y < n ↔ ¬ (y = n ⋁ n < y)))
9		eqcom 1475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = n ↔ n = y)
10	9	orbi1i 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y = n ⋁ n < y) ↔ (n = y ⋁ n < y))
11		orcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n = y ⋁ n < y) ↔ (n < y ⋁ n = y))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y = n ⋁ n < y) ↔ (n < y ⋁ n = y))
13	12	negbii 187	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (y = n ⋁ n < y) ↔ ¬ (n < y ⋁ n = y))
14	8, 13	syl6bb 535	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℕ) → (y < n ↔ ¬ (n < y ⋁ n = y)))
15	14	biimprd 154	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℕ) → (¬ (n < y ⋁ n = y) → y < n))
16	15	r19.22dva 1737	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (∃n ∈ ℕ ¬ (n < y ⋁ n = y) → ∃n ∈ ℕ y < n))
17		rexnal 1652	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ ℕ ¬ (n < y ⋁ n = y) ↔ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y))
18	16, 17	syl5ibr 207	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℝ → (¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y) → ∃n ∈ ℕ y < n))
19	18	r19.20i 1702	. . 3 ⊢ (∀y ∈ ℝ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y) → ∀y ∈ ℝ ∃n ∈ ℕ y < n)
20	5, 19	ax-mp 7	. 2 ⊢ ∀y ∈ ℝ ∃n ∈ ℕ y < n
21	2, 20	vtoclri 1856	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃n ∈ ℕ A < n)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 955   ∈ wcel 957  ∀wral 1643  ∃wrex 1644   class class class wbr 2615  ℝcr 5216  ℕcn 5279   < clt 5469

This theorem is referenced by:  nnreclt 6029  bndndx 6030  btwnz 6173  ubthlem5 8492  projlem1 9141  projlem26 9166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883

Copyright terms: Public domain